已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，且椭圆E上一点到两个焦点距离之和为4；l₁，l₂是过点P（0，2）且互相垂直的两条直线，l₁交E于A，B两点，l₂交E于C，D两点，AB，CD的中点分别为M，N。
（1）求椭圆E的方程；
（2）求l₁的斜率k的取值范围；
（3）求证：直线OM与直线ON的斜率乘积为定值（O为坐标原点）。