椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）与x轴，y轴的正半辆分别交于A，B两点，原点O到直线AB的距离为

2 5

5

，该椭圆的离心率为

3

2

．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在过点P(0，

5

3

)的直线l与椭圆交于M，N两个不同的点，且使

QM

=4

QN

-3

QP

成立（Q为直线l外的一点）？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．

经过椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点F的直线L与椭圆交于A、B两点，M是线段AB的中点，直线AB与直线OM（O是坐标原点）的斜率分别为k、m，且km=-

1

a2

．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）已知k=

2

4

，连接OM并延长交椭圆于点C，若四边形OACB恰好是平行四边形，求椭圆的方程．

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）与x轴，y轴的正半辆分别交于A，B两点，原点O到直线AB的距离为

2 5

5

，该椭圆的离心率为

3

2

．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点P(0，

5

3

)的直线l与椭圆交于两个不同的点M，N，求线段MN的垂直平分线在y轴上截距的取值范围．

设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦点为F₁（-2，0），左准线L₁与x轴交于点N（-3，0），过点N且倾斜角为30°的直线L交椭圆于A、B两点；
（1）求直线L和椭圆的方程；
（2）求证：点F₁（-2，0）在以线段AB为直径的圆上

从椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一点M向x轴作垂线恰好通过椭圆的左焦点F₁，且它的长轴端点A及短轴端点B的连线AB平行于OM，又Q是椭圆上任一点．
（1）求椭圆的离心率；
（2）求∠F₁QF₂的范围；
（3）当QF₂⊥AB时，延长QF₂与椭圆交于另一点P，若△F₁PQ的面积为20

3

，求椭圆方程．

从椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F₁，且它的长轴端点A及短轴端点B的连线AB平行于OM．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若b=2，设Q是椭圆上任意一点，F₂是右焦点，求△F₁QF₂的面积的最大值；
（Ⅲ）当QF₂⊥AB时，延长QF₂与椭圆交于另一点P，若△F₁PQ的面积为20

3

（Q是椭圆上的点），求此椭圆的方程．

设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为e，A为椭圆上一点，弦AB，AC分别过焦点F₁，F₂．
（I）若∠AF₁F₂=α，∠AF₂F₁=β，试用α，β表示椭圆的离心率e；
（II）设

AF1

=λ₁

F1B

，

AF2

=λ₂

F2C

，当A在椭圆上运动时，求证：λ₁+λ₂为定值．

设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦点为F₁（-2，0），左准线l₁与x轴交于点N（-3，0），过点N且倾斜角为30°的直线l交椭圆于A、B两点．
（1）求直线l和椭圆的方程；
（2）求证：点F₁（-2，0）在以线段AB为直径的圆上；
（3）在直线l上有两个不重合的动点C、D，以CD为直径且过点F₁的所有圆中，求面积最小的圆的半径长．

从椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一点M向x轴作垂线恰好通过椭圆的左焦点F₁，且它的长轴端点A及短轴端点B的连线AB平行于OM，又Q是椭圆上任一点．
（1）求椭圆的离心率；
（2）求∠F₁QF₂的范围；
（3）当QF₂⊥AB时，延长QF₂与椭圆交于另一点P，若△F₁PQ的面积为20

3

，求椭圆方程．