Question

从椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F₁，且它的长轴端点A及短轴端点B的连线AB平行于OM．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若b=2，设Q是椭圆上任意一点，F₂是右焦点，求△F₁QF₂的面积的最大值；
（Ⅲ）当QF₂⊥AB时，延长QF₂与椭圆交于另一点P，若△F₁PQ的面积为20

3

（Q是椭圆上的点），求此椭圆的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据长轴端点A及短轴端点B的连线AB平行于OM，可得k_OM=k_AB，从而可得b=c，进而可求椭圆的离心率；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b=c，所以c=2，表示出△F₁QF₂的面积，即可求出F₁QF₂的面积的最大值；
（Ⅲ）设椭圆方程为

x2

2b2

+

y2

b2

=1，与直线y=

2

(x-b)联立，表示出面积，利用△F₁PQ的面积为20

3

，即可求此椭圆的方程．

解答：解：（Ⅰ）由题意，kOM=

b2 a

-c

，kAB=

-b

a

，
因为长轴端点A及短轴端点B的连线AB平行于OM
所以k_OM=k_AB，所以

b2 a

-c

=

-b

a

，所以b=c
所以a²=2c²，
∴e2=

1

2

，
∴e=

2

2

（Ⅱ）由（Ⅰ）知b=c，∵b=2，∴c=2
∴S=

1

2

|F1F2|•|yQ|=c|yQ|=2|yQ|≤2×2=4
∴△F₁QF₂的面积的最大值为4；
（Ⅲ）设椭圆方程为

x2

2b2

+

y2

b2

=1，与直线y=

2

(x-b)联立可得5x²-8bx+2b²=0．△=24b²＞0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x1+x2=

8b

5

，x1x2=

2b2

5

|PQ|=

3

|x1-x2|=

3

×

( 8b 5 )2- 8b2 5

=

6

5

2

b，F₁到直线PQ的距离为

2

3

6

b
∴S=

1

2

|PQ|d=

4

5

3

b2=20

3

∴b²=25，
∴a²=50，
∴椭圆方程为

x2

50

+

y2

25

=1．

点评：本题考查椭圆的标准方程与离心率，考查三角形面积的计算，解题的关键是正确表达三角形的面积．