Question

从椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一点M向x轴作垂线恰好通过椭圆的左焦点F₁，且它的长轴端点A及短轴端点B的连线AB平行于OM，又Q是椭圆上任一点．
（1）求椭圆的离心率；
（2）求∠F₁QF₂的范围；
（3）当QF₂⊥AB时，延长QF₂与椭圆交于另一点P，若△F₁PQ的面积为20

3

，求椭圆方程．

Answer 1

分析：（1）根据过点M向x轴作垂线经过左焦点，A（a，0），B（0，b），可得M的坐标，利用AB∥OM，即可得到椭圆的离心率；
（2）利用余弦定理，结合基本不等式，可得0≤cos∠F₁QF₂≤1，从而可确定∠F₁QF₂的范围；
（3）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），确定直线F₂Q的方程：y=

2

（x-c）与椭圆联立

y= 2 (x-c) x2+2y2=2c2

，利用韦达定理，求得弦长公式，F₁到直线y=

2

(x-c)的距离，根据△F₁PQ的面积为20

3

，即可得到椭圆的方程．

解答：解：（1）∵过点M向x轴作垂线经过左焦点，A（a，0），B（0，b），∴M(-c，

b2

a

)，
∵AB∥OM，所以k_AB=k_OM，即-

b

a

=-

b2

ac

，从而得到b=c，a=

2

c，
∴离心率e=

2

2

．
（2）设|PF₁|=m，|PF₂|=n
∴cos∠F1QF2=

m2+n2-4c2

2mn

=

4a2-4c2-2mm

2mn

=

2b2

mn

-1，
又因为mn≤(

m+n

2

)2=a2，所以0≤cos∠F₁QF₂≤1，所以∠F1QF2∈[0，

π

2

]．
（3）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
∵kAB=-

2

2

，所以kF2Q=

2

，所以直线F₂Q的方程：y=

2

（x-c）
直线与椭圆联立

y= 2 (x-c) x2+2y2=2c2

，消元可得5x²-8cx+2c²=0
∴△=24c²＞0，x1+x2=

8c

5

，x1x2=

2

5

c2，
由弦长公式可得|PQ|=

1+k2

|x1-x2|=

3

64c2 25 -4× 2 5 c2

=

6 2

5

c，
又因为F₁到直线y=

2

(x-c)的距离d=

2 6

3

c，
因为S=

1

2

×

2 6

3

×

6 2

5

c2=

4 3

5

c2=20

3

，所以c²=25，b²=25，a²=50，
所以椭圆的方程为

x2

50

+

y2

25

=1．

点评：本题考查椭圆的离心率，考查余弦定理的运用，考查基本不等式的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，解题的关键是直线与椭圆联立，确定三角形的面积．