已知数列的通项公式和前项和，是与2的等差中项，数列中，，点在直线上。

       （1）求数列与的通项，；

       （2）设的前项和为，比较与2的大小；

       （3）设若（），求C的最小值

已知数列的前项和为，且 (N^*),其中．

(Ⅰ) 求的通项公式；

(Ⅱ) 设 (N^*).

①证明： ；

② 求证：.

【解析】本试题主要考查了数列的通项公式的求解和运用。运用关系式，表示通项公式，然后得到第一问，第二问中利用放缩法得到，②由于，

所以利用放缩法，从此得到结论。

解：(Ⅰ)当时，由得.  ……2分

若存在由得，

从而有，与矛盾，所以.

从而由得得.  ……6分

 (Ⅱ)①证明：

证法一：∵∴

∴ 

∴.…………10分

证法二：，下同证法一.           ……10分

证法三：（利用对偶式）设，，

则.又，也即，所以，也即，又因为，所以.即

                    ………10分

证法四：（数学归纳法）①当时, ,命题成立;

   ②假设时,命题成立,即,

   则当时,

    即

即

故当时，命题成立.

综上可知，对一切非零自然数，不等式②成立.           ………………10分

②由于，

所以，

从而.

也即

已知数列的前三项分别为，，，（其中为正常数）。设。
（1）归纳出数列的通项公式，并证明数列不可能为等比数列；
（2）若=1，求的值；
（3）若=4，试证明：当时，．

已知数列的前n项和，其中、为常数

（1）求出数列的通项公式；

（2）若数列是等比数列，求、应满足的条件。

    已知数列的前项和为，对一切正整数，点都在函数

    的图象上，且在点处的切线的斜率为。

   （Ⅰ）求数列的通项公式；

   （Ⅱ）若，求数列的前项和；

   （Ⅲ）设，，等差数列的任一项

         ，其中是中最小的数，，求数列的通项

         公式。

已知数列的前n项和，数列有， 

（1）求的通项；

（2）若，求数列的前n项和．

【解析】第一问中，利用当n=1时，

        当时，

得到通项公式

第二问中，∵   ∴∴数列  是以2为首项，2为公比的等比数列，利用错位相减法得到。

解：（1）当n=1时，                      ……………………1分

        当时， ……4分

        又

        ∴                            ……………………5分

（2）∵   ∴        

     ∴                 ……………………7分

     又∵，    ∴ 

     ∴数列  是以2为首项，2为公比的等比数列，

     ∴                          ……………………9分

     ∴                        

     ∴     ①

          ②

     ①-②得：

 ∴

已知数列为等差数列，其中，恰为和的等比中项。
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列的前n项和。

已知数列和中，数列的前项和记为. 若点在函数的图象上，点在函数的图象上。
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和

已知数列中，

（Ⅰ）求证：是等比数列，并求的通项公式；

（Ⅱ）数列满足，数列的前n项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围。