25.(本题满分12分)已知:在Rt△ABO中,∠OAB=90°,∠BOA=30°,AB=2,若以O为坐标原点,OA所在直线为轴,建立如图所示平面直角坐标系,点B在第一象限内,将Rt△ABO沿OB折叠后,点A落在第一象限内的点C处.

(1)求点C的坐标;(3分)

(2)若抛物线经过C、A两点,求此抛物线的解析式;(4分)

(3)若上述抛物线的对称轴与OB交于点D,点P为线段DB上一动点,过P作轴的平行线,交抛物线于点M,问:是否存在这样的点P,使得四边形CDPM为等腰梯形?若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由. (5分)

第25题图
 
 

[答案]25.(1)过点C作CH⊥轴,垂足为H, ∵在Rt△OAB中,∠OAB=900,∠BOA=300,AB=2   ∴OB=4,OA=,由折叠知,∠COB=300,OC=OA=

∴∠COH=600,OH=,CH=3   ∴C点坐标为(,3) 

(2)∵抛物线(≠0)经过C(,3)、A(,0)两点

        ∴    解得:

   ∴此抛物线的解析式为:  

(3)存在.  因为的顶点坐标为(,3)即为点C,MP⊥轴,设垂足为N,PN=,因为∠BOA=300,所以ON= ,  ∴P()

 作PQ⊥CD,垂足为Q,ME⊥CD,垂足为E,把代入得:,∴ M(),E() 同理:Q(),D(,1), 要使四边形CDPM为等腰梯形,只需CE=QD

 即,解得:(舍), ∴ P点坐标为()

∴ 存在满足条件的点P,使得四边形CDPM为等腰梯形,此时P点的坐为()

 
 
 
 
 
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