25.(本题满分12分)已知:在Rt△ABO中,∠OAB=90°,∠BOA=30°,AB=2,若以O为坐标原点,OA所在直线为
轴,建立如图所示平面直角坐标系,点B在第一象限内,将Rt△ABO沿OB折叠后,点A落在第一象限内的点C处.
(1)求点C的坐标;(3分)
(2)若抛物线
经过C、A两点,求此抛物线的解析式;(4分)
(3)若上述抛物线的对称轴与OB交于点D,点P为线段DB上一动点,过P作
轴的平行线,交抛物线于点M,问:是否存在这样的点P,使得四边形CDPM为等腰梯形?若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由. (5分)
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[答案]25.(1)过点C作CH⊥
轴,垂足为H, ∵在Rt△OAB中,∠OAB=900,∠BOA=300,AB=2 ∴OB=4,OA=
,由折叠知,∠COB=300,OC=OA=![]()
∴∠COH=600,OH=
,CH=3 ∴C点坐标为(
,3)
(2)∵抛物线
(
≠0)经过C(
,3)、A(
,0)两点
∴
解得: ![]()
∴此抛物线的解析式为:
(3)存在. 因为
的顶点坐标为(
,3)即为点C,MP⊥
轴,设垂足为N,PN=
,因为∠BOA=300,所以ON=![]()
, ∴P(![]()
,
)
作PQ⊥CD,垂足为Q,ME⊥CD,垂足为E,把
代入
得:
,∴ M(![]()
,
),E(
,
) 同理:Q(
,
),D(
,1), 要使四边形CDPM为等腰梯形,只需CE=QD
即
,解得:
,
(舍), ∴ P点坐标为(
,
)
∴ 存在满足条件的点P,使得四边形CDPM为等腰梯形,此时P点的坐为(
,
)
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