分段函数的反函数的求法及含有字母的函数的问题

2． 已知函数=1+有反函数，且点(a,b)在函数的图象上，又在其反函数的图象上，求a,b的值.

解：∵点(a,b)在函数的图象上，∴b=1+---①,

又点(a,b)在其反函数的图象上，

∴点(b,a)在原函数的图象上，

∴有a=1+---②，联立①②解得a=b=2.

1．求函数y=的反函数.

解：当x≥0时，y≥1，由y=x2+1得x= ( y≥1)；当x<0时，y<1，由y=x+1得x=y-1(y<1). 将x,y对换得y==.

说明：求分段函数的反函数，应分别求出各段的反函数，再合成.

的值域而得反函数的定义域，这一点绝不能混淆.

例1 求函数y=(x≥0，x≠1)的反函数.

解：⑴由原函数变形为y-y=1+，即=(y-1)/(y+1)--①,

∵≥0，∴(y-1)/(y+1)≥0，解得y<-1或y≥1,

⑵由①两边平方得x=[(y-1)/(y+1)],

⑶∴原函数的反函数是= [(x-1)/(x+1)](x<-1或x≥1)；

说明：原函数的值域是借助于变形中的①式：≥0而得到的，对于一个比较复杂的函数，求它的值域时要注意题目中的现有条件.

例2 设函数y==，求它的反函数.

分析：这里给出了分段函数，即在不同的x范围内有不同的表达式，因此，也应在不同的x范围内求其反函数.

解：⑴当x<0时，y=x,其反函数仍是y=x(x<0);

⑵当x≥0时，y=，由y= (x≥0)得x=,又y= (x≥0)的值域为y≥0，∴y= (x≥0)的反函数是y=(x≥0).

⑶由⑴⑵可得=.

例3 已知函数的反函数是(x∈R,x≠2)，求a,b,c的值.

解：⑴由(x≠2)解出x=，

∵原函数的值域是y≠3,

∴(x≠2)的反函数是(x≠3,x∈R).

⑵由互为反函数的函数关系知，与是同一函数，∴a=2,b=1,c=-3.

例4 若点A(1,2)既在函数=的图象上，又在的反函数的图象上，求a,b的值.

分析：求a,b，就要有两个关于a,b的方程，如何寻求？

①A(1,2)在图象上，这是很容易看出来的.

②如何用它也在的反函数的图象上呢？

其一，真求反函数，再把A(1,2)代入. 能不能不求反函数？

其二，A(1,2)在反函数图象上，则(2,1)就应在原函数的图象上，即(a,b)满足y=，则(b,a)应满足y=，反之亦然.

解：由A(1,2)在=上，则有--①；

由A(1,2)在其反函数图象上，可知(2,1)也在函数=图象上，∴又有--②，

解联立①②的方程组得a=-3,b=7.

例5．若，试求反函数．

分析：当已知函数是一个复合函数时，要求它的反函数，首先要求原来函数解析表达式．

解：令，则，，

代入所给表达式，得+2=，

，∴，即原来函数是．

易求函数的反函数是

．

注：在利用换元解题时，一定要注意新元(中间变量)的取值范围．

2．函数、、、间的关系：

与、与互为反函数；

与、与为同一函数

1．反函数的定义；求反函数的一般步骤分：一解、二换、三注明

互为反函数的两个函数有什么关系：

函数与的图象关于直线对称.

反函数的定义域由原函数的值域得到，而不能由反函数的解析式得到

29.下图所示为世界地图上的一段经线。MP、QN为陆地，PQ为海洋。(12分)

(1) 该剖面MN的水平距离约是：　　　　　　　 　　　　　　(　　 )(2分)

A．2000千米 B．2500千米 C．2775千米 D．3000千米

(2) 该剖面MN段自北向南依次经过的大陆、海洋是：

MP为___________大陆；PQ为____________海洋；QN为_____________大陆。(3分)

(3)当Q地为雨季时，下列地区同为雨季的是：　　　　　　　　 (　　)(2分)

A．北京 　　　 B．开普敦　　　 　　　 C．旧金山　　　 　　 　 D．孟买

(4) N地所在大洲的地形特点和气候特点分别是：(5分)

地形特点是

气候特点是

28.读右图，回答下列问题：(13分)

⑴A图所示国家的主要气候类型是____________。(1分)

⑵B图所示国家的主要气候类型包括(按自上而下顺序)______________、_______________和______________，其中该国纬度400-600沿海地区的气候主要分布在西部沿海狭长地带，原因是

____　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 _____　 。(5分)

　 ⑶A图、B图所示都是狭长型的临海国家，导致两国气候差异的主要因素有：(3分)

⑷当P1地盛行西南风时，P2地的气候特点是　　　　　　　　　　 ，流经P2地的主要洋流是____________________。(4分)

26、下图中的甲、乙两国都是太平洋的岛国，甲国面积约38万平方千米，乙国面积约27万平方千米，回答下列问题。(14分)

⑴图中甲、乙两国，比例尺较大的是　　　　　 。(2分)

⑵请比较图中甲、乙两国年降水量分布特点及其形成原因。(6分)

⑶甲国的工业主要分布在太平洋沿岸的狭长地带，请分析其主要原因。(3分)

⑷乙国农业地域类型主要为大牧场放牧业，请分析其优势区位条件。(3分)