2、摆钟问题

单摆的一个重要应用就是利用单摆振动的等时性制成摆钟。在计算摆钟类的问题时，利用以下方法比较简单：在一定时间内，摆钟走过的格子数n与频率f成正比(n可以是分钟数，也可以是秒数、小时数……)，再由频率公式可以得到：

[例6]有一摆钟的摆长为l_l时，在某一标准时间内快amin。若摆长为l₂时，在同一标准时间内慢bmin。，求为使其准确，摆长应为多长？(可把钟摆视为摆角很小的单摆)。

[解析]设该标准时间为ts，准确摆钟摆长为lm，走时快的钟周期为T₁s，走慢时的周期为T₂s，准确的钟周期为T₃。不管走时准确与否，钟摆每完成一次全振动，钟面上显示时间都是Ts。

(法一)由各摆钟在ts内钟面上显示的时间求解，　

　　　 对快钟： t+60a=T；　　　 对慢钟： t- 60a=T

　　 联立解，可得==　　　 最后可得L=。

(法二)由各摆钟在ts内的振动次数关系求解：

设快钟的 t s内全振动次数为 n_l，慢钟为 n₂，准确的钟为n。显然，快钟比准确的钟多振动了60a/T次，慢钟比准确的钟少振动60b/T次，故：

　　 对快钟：n_l＝t/T₁＝n+60a/T＝t/T+60a/T

　　 对慢钟：n₂＝t/T₂＝n－60b/T＝t/T－60b/T

　　 联解①②式，并利用单摆周期公式T＝2同样可得L=

点窍：对走时不准的摆钟问题，解题时应抓住：由于摆钟的机械构造所决定，钟摆每完成一次全振动，摆钟所显示的时间为一定值，也就是走时准确的摆钟的周期T。

5.共振

(1)当驱动力的频率等于振动系统的固有频率时，物体的振幅最大的现象叫做共振．

　(2)条件：驱动力的频率等于振动系统的固有频率．

(3)共振曲线．如图所示．

[例3]行驶着的火车车轮，每接触到两根钢轨相接处的缝隙时，就受到一次撞击使车厢在支着它的弹簧上面振动起来．已知车厢的固有同期是0．58s，每根钢轨的长是12．6 m，当车厢上、下振动得最厉害时，火车的车速等于　　　　　　　 m／s．

　　 解析：该题应用共振的条件来求解．火车行驶时，每当通过铁轨的接缝处就会受到一次冲击力，该力即为策动力．当策动周期T_策和弹簧与车厢的国有周期相等时，即发生共振，即　　 T_策＝T_固＝ 0．58 s ………①　 T_策=t=L/v……②　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　 将①代入②解得v=L/0．58=21．7 m／s　　 答案：21．7m／s

规律方法1、单摆的等效问题

①等效摆长：如图所示，当小球垂直纸面方向运动时，摆长为CO．

②等效重力加速度：当单摆在某装置内向上运动加速度为a时，T＝2π；当向上减速时T=2π，影响回复力的等效加速度可以这样求，摆球在平衡位置静止时，摆线的张力T与摆球质量的比值．

[例4]如图所示，在光滑导轨上有一个滚轮A，质量为2m，轴上系一根长为L的线，下端悬挂一个摆球B，质量为m，设B摆小球作小幅度振动，求振动周期。

[分析]将2m的A球和m的B球组成系统为研究对象，系统的重心O点可视为单摆的悬点，利用水平方向动量守恒可求出等效摆长。

[解析]A和B两物体组成的系统由于内力的作用，在水平方向上动量守恒，因此A和B速度之比跟质量成反比，即v_A/v_B=m_B/m_A=1/2．因此A和B 运动过程中平均速度/=1/2，亦即位移 S_A/S_B＝1/2。，

因为ΔOAA^/∽ΔOBB^/，则OB/OA＝2/1。

对B球来说，其摆长应为2/3 L，因此B球的周期T＝2。

说明：据动量守恒条件，2m在A位置时，m在 B位置，当2 m运动到A^/时，m运动到B^/。

[例5]如图所示，三根细线OA, OB,OC结于O点，A,B端固定在同一水平面上且相距为L，使AOB成一直角三角形，∠BAO = 30⁰，已知OC绳长也为L，下端C点系一个可视为质点的小球，下面说法中正确的是

A、当小球在纸面内做小角度振动时,周期为：

B.当小球在垂直纸面方向做小角度振动时，周期为

C.当小球在纸面内做小角度振动时，周期为

D.当小球在垂直纸面内做小角度振动时，周期为

解析:当小球在纸面内做简谐振动时，是以0点为圆心,OC长L为半径做变速圆周运动，OA和OB绳没有松弛，其摆长为L,所以周期是；当小球在垂直于纸面的方向上做简谐振动时，摆球是以OC的延长线与AB交点为圆心做振动,其等效的摆长为L十Lsin60⁰/2=L十L/4 ,其周期为,故选A.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

拓展:若将上题中的小球改为装满沙子的漏斗，在漏斗摆动的过程中，让沙子匀速的从漏斗底部漏出，则单摆的周期如何变化?(因沙子遂渐漏出，其重心的位置先下移后上升，等效摆长先增加后减小，所以周期先变长后减小)。

[例5]在图中的几个相同的单摆在不同的条件下，关于它们的周期关系，判断正确的是(　 )

　　 A、T₁＞T₂＞T₃＞T₄；　 B、T₁＜T₂=T₃＜T₄

　　 C、T₁＞T₂=T₃＞T_4、； _、 D、T₁＜T₂＜T₃＜T₄

[解析]单摆的周期与重力加速度有关．这是因为是重力的分力提供回复力．当单摆处于(1)图所示的条件下，当摆球偏离平衡位置后，是重力平行斜面的分量(mgsinθ)沿切向分量提供回复力，回复力相对竖直放置的单摆是减小的，则运动中的加速度减小，回到平衡位置的时间变长，周期T₁＞T₃．对于(2)图所示的条件，带正电的摆球在振动过程中要受到天花板上带正电小球的斥力，但是两球间的斥力与运动的方向总是垂直，不影响回复力，故单摆的周期不变，T₂=T₃．在(4)图所示的条件下，单摆与升降机一起作加速上升的运动，也就是摆球在该升降机中是超重的，相当于摆球的重力增大，沿摆动的切向分量也增大，也就是回复力在增大，摆球回到相对平衡的位置时间变短，故周期变小，T₄＜T₃．综上所述，只有C选项正确．

　点评：对于单摆的周期公式，在摆长不变的条件下，能影响单摆振动的周期的因素就是运动过程中的回复力发生的变化，回复力增大，周期变小，回复力变小，周期变大．这是判断在摆长不变时单摆周期变化的唯一

4.受迫振动

(1)振动系统在周期性驱动力作用下的振动叫做受迫振动．

(2)受迫振动稳定时，系统振动的频率等于驱动力的频率，跟系统的固有频率无关．

3、阻尼振动与无阻尼振动

(1)振幅逐渐减小的振动叫做阻尼振动．

(2)振幅不变的振动为等幅振动，也叫做无阻尼振动．

注意：等幅振动、阻尼振动是从振幅是否变化的角度来区分的，等幅振动不一定不受阻力作用．

2、振动系统的机械能大小由振幅大小决定，同一系统振幅越大，机械能就越大．若无能量损失，简谐运动过程中机械能守恒，做等幅振动．

1、对于给定的振动系统，振动的动能由振动的速度决定，振动的势能由振动的位移决定，振动的能量就是振动系统在某个状态下的动能和势能的总和．

5、小球在光滑圆弧上的往复滚动，和单摆完全等同。只要摆角足够小，这个振动就是简谐运动。这时周期公式中的l应该是圆弧半径R和小球半径r的差。

4、单摆的周期：当 l、g一定，则周期为定值 T=2π，与小球是否运动无关．与摆球质量m、振幅A都无关。其中摆长l指悬点到小球重心的距离，重力加速度为单摆所在处的测量值。要区分摆长和摆线长。

3、单摆振动的回复力是重力的切向分力，不能说成是重力和拉力的合力。在平衡位置振子所受回复力是零，但合力是向心力，指向悬点，不为零。