1、椭圆的定义1： ，F，F为两定点即焦点。定义2：

(二)求曲线方程(求轨迹)的几种常用方法：

1、直接法：直接用动点P(x，y)的坐标表示等量关系，化简得轨迹方程。一般步骤是：①建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标；如果题中出现了点的坐标或方程表示已经建立了坐标系。②列出点　 M适合条件的几何等量关系；③用坐标表示列出方程f(x,y)=0，④化方程f(x,y)=0为最简形式；⑤证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。一般情况下，化简前后的方程的解是相同的，步骤⑤可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明，另外，根据情况，也可以省略步骤②直接列出直线方程。

例1：三角形ABC的顶点A固定，点A的对边BC的长为2a,边BC上的高线长为b，边BC沿一条定直线移动，求三角形ABC外心的轨迹方程。

分析：以BC边所在的直线为x轴，过A点且与x轴垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系,则B(0，b)，设外心M(x,y)，则|MA|＝|MB|，B(x-a,0),x-2by+b-a=0

2、　 定义法：通过圆锥曲线(或已知曲线)定义确定轨迹性质，进而求得方程。

例2、(1)由动点P向圆作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60⁰，则动点P的轨迹方程为　　　 　　　　　　

(2)点M与点F(4,0)的距离比它到直线的距离小于1，则点M的轨迹方程是_____

　(3) 一动圆与两圆⊙M：和⊙N：都外切，则动圆圆心的轨迹为　　　 。双曲线的左支上。注：都内切时，得到该双曲线的右支。若与前者内切，与后者外切时，得到双曲线的左支，若与前者外切，与后者内切时，得到双曲线的右支，

(4)、

3、相关点代入法：当动点P(x，y)与已知曲线上动点P₁(x₁，y₁)相关时，用x，y表示x₁，y₁，再代入已知曲线方程，求得轨迹方程。

例3：(1)动点P是抛物线上任一点，定点为,点M分所成的比为2，则M的轨迹方程为__________

(1)　　　 若点在圆上运动，则点的轨迹方程是____

例4、设O为平面直角坐标系的原点，已知定点A(3,0)，动点B在曲线x+y=1上运动，∠AOB的平分线交AB于点M，求动点M的轨迹方程。

分析：当轨迹上的点的坐标难以直接建立关系时，且已知轨迹上的点的坐标受已知曲线上的某一动点的坐标的影响，可用相关点代入法。本题可用角平分线定理和相关点代入法。

(4x-3)+16y=9

4、交轨法：已知所求曲线是某两条曲线的交点可通过解方程组而得。(常与参数法相结合。)

例5、已知直线L1过A(－2,0)，直线L2过B(2,0)，且L1与L2分别绕A，B旋转，它们在y轴上截距分别为，其中，试求L1与L2交点的轨迹方程。

5、参数法。先选定某个变量作为参数，再找出曲线上的点的横坐标、纵坐标与参数的关系式，然后再消去参数。

例6、已知常数，在矩形ABCD中，，，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点(如图)，问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由

根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P到两点距离的和为定值.按题意有A(－2，0)，B(2，0)，C(2，4a)，D(－2，4a)设

由此有E(2，4ak)，F(2－4k，4a)，G(－2，4a－4ak)

直线OF的方程为：①

直线GE的方程为：②

从①，②消去参数k，得点P(x,y)坐标满足方程

整理得 当时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.

　　 当时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长

当时，点P到椭圆两个焦点(的距离之和为定值

当时，点P 到椭圆两个焦点(0， 的距离之和为定值2.

本题是交轨法与参数法的例子。

例7、(本例是情侣圆锥曲线的求法)

本题是相关点代入法和交轨法相结合。

6、待定系数法：已知曲线方程的类型，可先设出曲线方程的形式，然后求出有关的系数。

例8、

(一)曲线与方程的概念：在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0上的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点；那么，这个方程叫曲线的方程；这条曲线叫方程的曲线。

练习：(1)

4、全称量词：“所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给”等。常用“”表示。含有全称量词的命题叫全称命题。

存在量词：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“有的” “对某个”等。常用“”表示。含有存在量词的命题叫特称命题。

练习：写出下列命题的否定：(1)p：所有能被3整除的整数都是奇数。

(2)p：

第十九讲圆锥曲线与方程

3、复合命题的三种基本形式及真假判定：P或Q(P∨Q)，P且Q(P∧)，非P(﹁P)。

“P与﹁P”中的一些常用对应词

2、如果已知pq,则有四种说法：(1)p是q的充分条件，(2)q是p的必要条件，(3)p的一个必要条件是q,(4)q的一个充分条件是P。

练习：(1)若ØP是ØQ的必要不充分条件，则P是Q的(A)

A　充分而不必要条件，B　必要不充分条件，C　充要条件，D　既不充分与必要条件

(2)“或”是“”成立的　　　　　 条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中的一个)．

1、四种命题：一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用﹁p或﹁q分别表示p和q的否定，则四种命题的形式是：(1)原命题：若p则q，(2)逆命题：若q则p，(3)否命题：若﹁p 则﹁q ，(4)逆否命题：若﹁q 则﹁p，

四种命题的真假关系：一个命题与它的逆否命题是等价的，其逆命题与它的否命题也是等价的。要注意区别“否命题”与“命题的否定”：若原命题是“若P则Q”，则这个命题的否定是“若P则非Q”，而它的否命题是“若非P则非Q”。但对于“全称命题”与“特称命题”是互为否定的。

3、线性规划中的几个几何意义：

第十八讲常用的逻辑用语

2、设点P(x,y),Q(x,y)，若Ax+By+C与Ax+By+C同号则P，Q在直线l的同侧，异号则在直线l的异侧。

(二)恒成立问题：解恒成立问题常用方法：①分离参数法；②数形结合；③转化为函数的最值问题。你能清楚何时用何种方法吗？

常见题型：①若在上恒成立，则；若在上恒成立，则。②若在上有解，则；若在上无解，则。(注：为常数。)③在上恒成立，是对于任意的，必须大于吗？应该怎样解？(不是。通常移项，使即可；若的最值无法求出，则考虑数形结合，只需在上的图像始终在的上方即可。)

(1)一次函数型：给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象(直线)可得上述结论等价于

ⅰ)或ⅱ)亦可合并定成

同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有

(2)二次函数型：若二次函数y=ax²+bx+c=0(a≠0)大于0恒成立，则有

若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。

例1、　　 设f(x)=x²-2ax+2,当x[-1,+)时，都有f(x)a恒成立，求a的取值范围。

分析：题目中要证明f(x)a恒成立，若把a移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间[-1,+)时恒大于0的问题。

法一：解：设F(x)= f(x)-a=x²-2ax+2-a.

ⅰ)当=4(a-1)(a+2)<0时，即-2<a<1时，对一切x[-1,+)，F(x) 0恒成立；

ⅱ)当=4(a-1)(a+2) 0时由图可得以下充要条件：

即

得-3a-2;

综合可得a的取值范围为[-3，1]。

法二：化为求F(x)= f(x)-a=x²-2ax+2-a.在x[-1,+)上的最小值大于等于0。再对对称轴的位置进行讨论。

法三：分离参数法：再对参数分类讨论：

(3)分离变量型：若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。

例2、　　　 已知当xR时，不等式a+cos2x<5-4sinx+恒成立，求实数a的取值范围。

分析：在不等式中含有两个变量a及x，其中x的范围已知(xR)，另一变量a的范围即为所求，故可考虑将a及x分离。