[例1]AD为△ABC中BC边上的高，在AD上取一点E，使AE=DE，过E点作直线MN∥BC，交AB于M，交AC于N，现将△AMN沿MN折起，这时A点到A¢点的位置，且ÐA¢ED=60°，求证：A¢E⊥平面A¢BC.

[例2]如图，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平

面ABC，∠ABC=90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

求证：

(1)BC⊥平面PAB；　

(2)AE⊥平面PBC；

(3)PC⊥平面AEF.　　　　　　　　　　　　　　　　　　

证明：(1)PA⊥平面ABC

BC⊥平面PAB.

AB⊥BC

PA∩AB=A　　　　

(2)AE平面PAB，

AE⊥平面PBC.

　　　　　 AE⊥PB

　　　　 PB∩BC=B

(3)PC平面PBC，

PC⊥平面AEF.

　　 　　　PC⊥AF

　　　　 AE∩AF=A

[例3]如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，ÐACB=90°,AC=1,CB=，侧棱AA₁=1，侧面A A₁ B₁B的两条对角线交于点D，B₁C₁的中点为M，

求证：CD^平面BDM

证明：在直三棱柱中，又

∴平面，

∵，∴，

∴，

连结，则上的射影,也是CD的射影

在中，

在中，，

∴, ∴，

∴，

∴平面.

◆总结提练： 证线面垂直, 要注意线线垂直与线面垂直关系与它之间的相互转化

证线线垂直常用余弦定理、勾股定理逆定理,三垂线定理或通过线面垂直.

[例4](2006浙江)如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，， 底面，

且，分别为、的中点.

(Ⅰ)求证：；

(Ⅱ)求与平面所成的角.

解：(I)∵是的中点，，∴.

∵平面，∴，从而平面.

∵平面，∴.

(II)取的中点，连结、，则，

∴与平面所成的角和与面所成的角相等.

∵平面，

∴NG是BG在面ADMN内的射影,

是与平面所成的角.

在中，.

故与平面所成的角是.

6. .CD⊥平面α时射影面积最小；CD//α时射影面积最大.

6．(2006浙江)正四面体ABCD的棱长为l，棱AB∥平面，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是______.

◆答案提示：1-3.DBDA;　 5. a∥d;

5．直线a,b,c 是两两互相垂直的异面直线，直线 d是b和c的公垂线，则d和a 的位置关系是______________.

4.已知P为Rt△ABC所在平面外一点，且PA=PB=PC，D为斜边AB的中点，则直线PD与平面ABC.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 )

A．垂直　　　 B.斜交　　 C.成60⁰角　　 D.与两直角边长有关

3.直角△ABC的斜边BC在平面a内，顶点A在平面a外，则△ABC的两条直角边在平面a内的射影与斜边BC组成的图形只能是　　　　　　　　　 (　 )

A.一条线段　　　 B.一个锐角三角形　

C.一个钝角三角形　 D.一条线段或一个钝角三角形

2.如果直线l⊥平面a，

①若直线m⊥l,则m∥a；　 ②若m⊥a,则m∥l；

③若m∥a,则m⊥l；　　　 ④若m∥l,则m⊥a,

上述判断正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 )

A.①②③　　　 B.②③④　　

　C.①③④　　　 D.②④

1.已知a，b，c是直线，a，b是平面，下列条件中，能得出直线a⊥平面a的是(　 )

A.a⊥c,a⊥b，其中bÌa,cÌa　　　 B.a⊥b,b∥a

C.a⊥b，a∥b　　　　　　　　　　 D.a∥b,b⊥a

6．三垂线定理：　

平面内的直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和斜线垂直。

三垂线定理的逆定理：

平面内的直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直

用途：判定线线垂直=>线面垂直，二面角的平面角.

5．斜线、射影、直线和平面所成的角：定义--

性质：从平面外一点向平面所引的垂线段和斜线段中

(1)垂线段最短；

(2)斜线段相等<=>射影相等；

(3)斜线段较长(短)<=>射影较长(短).