(四)巩固练习：

1．函数的值域为　 　　．

2．若函数在上的最大值与最小值之差为2，则　　 ．

(二)(配方法)，

∴的值域为．

改题：求函数，的值域．

解：(利用函数的单调性)函数在上单调增，

∴当时，原函数有最小值为；当时，原函数有最大值为．

∴函数，的值域为．

(2)求复合函数的值域：设()，则原函数可化为．

又∵，∴，故，

∴的值域为．

(3)(法一)反函数法：的反函数为，其定义域为，

∴原函数的值域为．

(法二)分离变量法：，

∵，∴，

∴函数的值域为．

(4)换元法(代数换元法)：设，则，

∴原函数可化为，∴，

∴原函数值域为．

说明：总结型值域，变形：或

(5)三角换元法：∵，∴设，

则

∵，∴，∴，∴，

∴原函数的值域为．

(6)数形结合法：，∴，∴函数值域为．

(7)判别式法：∵恒成立，∴函数的定义域为．

由得：　　 ①

①当即时，①即，∴

②当即时，∵时方程恒有实根，

∴，∴且，

∴原函数的值域为．

(8)，

∵，∴，∴，当且仅当时，即时等号成立．∴，∴原函数的值域为．

(9)(法一)方程法：原函数可化为：，

∴(其中)，

∴，∴，∴，∴，

∴原函数的值域为．

(法二)数形结合法：可看作求点与圆上的点的连线的斜率的范围，解略．

例2．若关于的方程有实数根，求实数的取值范围．

解：原方程可化为，

令，则，，又∵在区间上是减函数，

∴，即，

故实数的取值范围为：．

例3．某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2003年度进行一系列的促销活动．经过市场调查和测算，化妆品的年销量万件与年促销费用万元之间满足：与成反比例；如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件．

已知2003年，生产化妆品的固定投入为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元．当将每件化妆品的售价定为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占促销费的一半”之和，则当年产销量相等．

(1)将2003年的年利润万元表示为年促销费万元的函数；

(2)该企业2003年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？

(注：利润＝收入－生产成本－促销费)

解：(1)由题设知：，且时，，∴，即，

∴年生产成本为万元，年收入为．

∴年利润，

∴．

(2)由(1)得，

当且仅当，即时，有最大值．

∴当促销费定为万元时，年该化妆品企业获得最大利润．

(三)例题分析：

例1．求下列函数的值域：

(1)；　　 (2)；　　 (3)；

(4)；　 (5)；　　　 (6)；

(7)；　 (8)； (9)．

解：(1)(一)公式法(略)

(二)主要方法(范例分析以后由学生归纳)：

求函数的值域的方法常用的有：直接法，配方法，判别式法，基本不等式法，逆求法(反函数法)，换元法，图像法，利用函数的单调性、奇偶性求函数的值域等．

(一)主要知识：

1．函数的值域的定义；2．确定函数的值域的原则；3．求函数的值域的方法．

(四)巩固练习：

1．已知的定义域为，则的定义域为．

2．函数的定义域为．

(三)例题分析：

例1．已知函数的定义域为，函数的定义域为，则

　　　 　　　　　　　　　( 　)

解法要点：，，

令且，故．

例2．(1)已知，求；

(2)已知，求；

(3)已知是一次函数，且满足，求；

(4)已知满足，求．

解：(1)∵，

∴(或)．

(2)令()，则，∴，∴．

(3)设，

则，

∴，，∴．

(4)　 ①，　　　 把①中的换成，得　　 ②，

①②得，∴．

注：第(1)题用配凑法；第(2)题用换元法；第(3)题已知一次函数，可用待定系数法；第(4)题用方程组法．

例3．设函数，

(1)求函数的定义域；

解：(1)由，解得　　 ①

当时，①不等式解集为；当时，①不等式解集为，

∴的定义域为．

(二)主要方法：

1．求函数解析式的题型有：

(1)已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；

(2)已知求或已知求：换元法、配凑法；

(3)已知函数图像，求函数解析式；

(4)满足某个等式，这个等式除外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；

(5)应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等．

2．求函数定义域一般有三类问题：

(1)给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；

(2)实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义；

(3)已知的定义域求的定义域或已知的定义域求的定义域：

①掌握基本初等函数(尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数)的定义域；

②若已知的定义域，其复合函数的定义域应由解出．

(一)主要知识：1．函数解析式的求解；2．函数定义域的求解．

(四)巩固练习：

1．给定映射，点的原象是　　　

2．下列函数中，与函数相同的函数是　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 　)

3．设函数，则＝．