例1若3m+2n＝a，m－3n＝b，其中a，b是已知向量，求m，n.

分析：此题可把已知条件看作向量m、n的方程，通过方程组的求解获得m、n.

解：记3m+2n＝a①　　　 m－3n＝b②

3×②得3m－9n＝3b③

①－③得11n＝a－3b.　　 ∴n＝a－b④

将④代入②有：m＝b+3n＝a+b

评述：在此题求解过程中，利用了实数与向量的积以及它所满足的交换律、结合律，从而解向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法一致.

例2凸四边形ABCD的边AD、BC的中点分别为E、F，求证＝(+).

解法一：构造三角形，使EF作为三角形中位线，借助于三角形中位线定理解决.

过点C在平面内作＝，则四边形ABGC是平行四边形，故F为AG中点.

∴EF是△ADG的中位线，∴EF =,　 ∴＝.

而＝+＝+，

∴＝(+).

解法二：创造相同起点，以建立向量间关系

如图，连EB，EC，则有＝+，

＝+，

又∵E是AD之中点，∴有+＝0.

即有+＝+；

以与为邻边作平行四边形EBGC，则由F是BC之中点，可得F也是EG之中点.

∴＝＝(+)＝(+)

4．向量共线的充要条件

若有向量(¹)、，实数λ，使=λ，则与为共线向量

若与共线(¹)且||：||=μ，则当与同向时=μ；　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　当与反向时=-μ从而得

向量共线定理　 向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ

3．运算定律　 结合律：λ(μ)=(λμ)　　　　　　　　 　　　　　①

第一分配律：(λ+μ)=λ+μ　　　　　　　　　　 ②

第二分配律：λ(+)=λ+λ　　　　　　　 　③

结合律证明：

如果λ=0，μ=0，=至少有一个成立，则①式成立

如果λ¹0，μ¹0，¹有：|λ(μ)|=|λ||μ|=|λ||μ|||

|(λμ)|=|λμ|| |=|λ||μ|||

　　 　∴|λ(μ)|=|(λμ)|

如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与同向；

如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与反向

　 从而λ(μ)=(λμ)

第一分配律证明：

如果λ=0，μ=0，=至少有一个成立，则②式显然成立

如果λ¹0，μ¹0，¹

当λ、μ同号时，则λ和μ同向，

∴|(λ+μ)|=|λ+μ|||=(|λ|+|μ|)||

|λ+μ|=|λ|+|μ|=|λ|||+|μ|||=(|λ|+|μ|)||

∵λ、μ同号 ∴②两边向量方向都与同向

　　　　 即　 |(λ+μ)|=|λ+μ|

当λ、μ异号，当λ>μ时 ②两边向量的方向都与λ同向；当λ<μ时 ②两边向量的方向都与μ同向，且|(λ+μ)|=|λ+μ|

∴②式成立

第二分配律证明：

如果=，=中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立

当¹，¹且λ¹0，λ¹1时

(1)当λ>0且λ¹1时在平面内任取一点O，

作　 　　λ　 λ　　

则+　　 λ+λ

由作法知 ，∥有ÐOAB=ÐOA₁B₁ 　　||=λ||

∴λ　　 ∴△OAB∽△OA₁B₁

∴λ ÐAOB=Ð A₁OB₁

因此，O，B，B₁在同一直线上，||=|λ|　 与λ方向也相同

∴λ(+)=λ+λ　　

当λ<0时 可类似证明：λ(+)=λ+λ　

∴ ③式成立

2．实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ

(1)|λ|=|λ|||

(2)λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ=

1．示例：已知非零向量，作出++和(-)+(-)+(-)

　 ==++=3

==(-)+(-)+(-)=-3

(1)3与方向相同且|3|=3||；(2)-3与方向相反且|-3|=3||

11．差向量的意义： = a,　 = b, 则= a - b

　　 即a - b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量

10．向量的减法向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差即：a - b = a + (-b)　

9．向量加法的结合律：(+) +=+ (+)

8．向量加法的交换律：+=+

7.向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法

向量加法的三角形法则和平行四边形法则