(五)函数思想

对于圆锥曲线问题上一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的变量，从而使变量与其中的参变量之间构成函数关系，此时，用函数思想与函数方法处理起来十分方便。

[例5] 直线：和双曲线的左支交于A、B两点，直线过P()和AB线段的中点M，求在轴上的截距的取值范围。

解：由消去得，由题意，有：

设M()，则

由P()、M()、Q()三点共线，可求得

设，则在上为减函数。

所以，且

所以　　 所以或

(四)方程思想

把圆锥曲线问题中的解析式看作一个方程，通过解方程的手段或对方程的研究，使问题得到解决，这种思想方法在解析几何试题中经常使用。

[例4] 已知双曲线C：，设该双曲线上支的顶点为A，且上支与直线相交于P点，一条以A为焦点，M()为顶点，开口向下的抛物线通过点P，设PM的斜率为，且，求实数的取值范围。

解：由双曲线方程知A(0，1)，则抛物线方程为，由双曲线与直线相交，解得点P的坐标为，又因为点P在抛物线上，所以

　 ①

而MP的斜率为，所以

将代入①，得，即 ②

根据题意，方程②在区间上有实根

令，其对称轴方程为

所以　 所以实数的取值范围为

(三)整体思想

对有些圆锥曲线问题，注意其整体结构特点，设法将问题整体变形转化，以达到避免一些不必要的运算，降低解题难度。

[例3] 从椭圆外一点P(2，4)作椭圆的切线，求两切线的夹角。

解：由椭圆的切线方程知两切线的方程为：

又切线过点P(2，4)，所以，整理得，

所以，

所以

所以两切线的夹角

(二)补集思想

有些圆锥曲线问题，从正面处理较难，常需分类讨论，运算量大，且讨论不全又容易出错，如用补集思想考虑其对立面，可以达到化繁为简的目的。

[例2] 为何值时，直线：不能垂直平分抛物线的某弦。

解：设，直线垂直平分抛物线的某弦。若直线垂直平分抛物线的弦AB，且A，B，则，

上述两式相减得：

即

又设M是弦AB的中点，且，则

因为点M在直线上，所以

由于M在抛物线的内部，所以，即

故原命题中的取值范围是或

(一)极端思想

通过考察圆锥曲线问题的极端元素，灵活地借助极限状态解题，则可以避开抽象及复杂运算，优化解题过程，降低解题难度。这是简化运算量的一条重要途径。

[例1] 求已知离心率，过点(1，0)且与直线：相切于点()，长轴平行于轴的椭圆方程。

解：把点()看作离心率的椭圆(“点椭圆”)，则与直线：相切于该点的椭圆系即为过直线与“点椭圆”的公共点的椭圆系方程为：

又由于所求的椭圆过点(1，0)，代入上式得，

因此，所求椭圆方程为：

1. 重点：

圆锥曲线的综合问题。

　 2. 难点：

灵活运用介绍的几种数学思想简化圆锥曲线的运算。

[典型例题]

　　 专题(一)简化圆锥曲线运算的几种数学思想

22、(本题满分12分)

已知在的展开式中,第二项的二项式系数与第三项的二项式系数之比为2∶9.

(1)　 求n的值.

(2)　 求展开式中所有项的系数之和.

(3)　 求展开式中的常数项.

云南省玉溪市华培外语实验学校高二下学期第二次月考

21、(本题满分12分)

求91⁹²除以100的余数.

20、(本题满分12分)

　　 已知6件不同产品中共有3件次品,现对它们进行一一测试,直至找到所有3件次品为止.

　　 (1)若恰在第3次测试,才测试到第一件次品,第6次测试才找到最后一件次品的不同测试方法数是多少?

　　 (2)若恰在第4次测试后,就找出了所有3件次品,则这样的不同测试方法数是多少?