(七)转化思想

数学问题的求解过程,实际上就是问题的转化过程。它主要体现在条件由“隐”转化为“显”,结论由“暗”转化为“明”,即从陌生向熟悉、复杂向简单、间接向直接的过程。

[例7] 设圆满足:① 截轴所得弦长为2;② 被轴分成两段圆弧,其弧长的比为,在满足条件①、②的所有圆中,求圆心到直线的距离最小的圆的方程。

解:设圆的圆心为P(),半径为,由①知;由②知,圆P截轴所得劣弧对应的圆心角为,即圆P截轴所得的弦长为,故有,消去得圆心的轨迹为:

如何求圆心P()到直线的距离的最小值,这样转化为从不同角度求条件最值问题。

转化1:变量替换求最值

  ∴

,则有,解得,所以有

=

 

当且仅当,即时,达到最小值。此时可求得

由于,故。于是所求圆的方程是:

转化2:三角代换求最值

所以

,得

达到最小值时,=1,从而,并由此解得

,以下同解法1

转化3:判别式法求最值

,即

代入①式,整理得  ②

把它看作的一元二次方程,由于方程有实根,故判别式非负,即

,得,所以

代入②,得

解得

从而,由,知同号

于是,所求圆的方程为:

[模拟试题](答题时间:60分钟)

1. 已知椭圆,能否在此椭圆位于轴左侧的部分上找到一点M,使它到左准线的距离为它到两焦点距离的等比中项?

2. 求证:椭圆的弦中点与椭圆中心连线的斜率(两斜率均存在时)与此弦的斜率之积为

3. 一椭圆长短轴平行于坐标轴,与直线相切于点P(4,3),它还经过点Q(),R(),求椭圆方程。

4. 两个不同的点P、Q在曲线上移动,不管如何选择其位置,它们总不能关于直线对称,求的范围。

5. 过抛物线的焦点F的直线与该抛物线交于A、B两点,若AB的中点为M,直线的斜率为

(1)试用表示点M的坐标;

(2)若直线的斜率,且点M到直线的距离为,试确定实数的取值范围。

6. 已知椭圆(),A、B是椭圆上两点,线段AB的垂直平分线与轴交于点P(),求证:

 0  413805  413813  413819  413823  413829  413831  413835  413841  413843  413849  413855  413859  413861  413865  413871  413873  413879  413883  413885  413889  413891  413895  413897  413899  413900  413901  413903  413904  413905  413907  413909  413913  413915  413919  413921  413925  413931  413933  413939  413943  413945  413949  413955  413961  413963  413969  413973  413975  413981  413985  413991  413999  447090 

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