1、(2009揭阳)已知函数:,其中:,记函数满足条件:为事件为A,则事件A发生的概率为( )C
A. B. C. D.
12、解:(1)由于点在直线上,
则, ……1分
因此,所以数列是等差数列 ……2分
(2)由已知有,那么 ……3分
同理
以上两式相减,得, ……4分
∴成等差数列;也成等差数列,
∴, ……5分
……6分
点,则,,
而
∴ ……8分
(3)由(1)得:, ……9分
则
而,则, ……11分
即
∴
∴ ……12分
由于 ,
而,
则, 从而 , ……13分
同理:
……
以上个不等式相加得:
即,
从而 ……14分
说明:(1)也可由数学归纳法证明 ;
(2)本题也可以求出的通项公式,由两边同时除以,
令,则
利用错位相减法可求出:
则,
则,时,也符合上式,
则对任意正整数都成立.
下同上述解法
10、解:(Ⅰ)由,, ①
∴ , ②
①-②得:,即
, 4分
∵
,
∴。 8分
(Ⅱ)∵,∴, 10分
.
故. 14分
9、解:(1)
解法一:由,可得
………………………………2分
所以是首项为0,公差为1的等差数列.
所以即……………………4分
解法二:因且得
…………………………………………………………
由此可猜想数列的通项公式为:…………2分
以下用数学归纳法证明:
①当n=1时,,等式成立;
②假设当n=k时,有成立,那么当n=k+1时,
成立
所以,对于任意,都有成立……………………4分
(2)解:设……①
……②
当时,①②得
…………6分
7、.解:(1)设等比数列的公比为.
则由等比数列的通项公式得,
又
数列的通项公式是.
数列的前100项和是
6、解:(Ⅰ)由 知是方程的两根,注意到得 .……2分
得.
等比数列.的公比为,……4分
(Ⅱ)……5分
∵……7分
数列是首相为3,公差为1的等差数列. ……8分
(Ⅲ) 由(Ⅱ)知数列是首相为3,公差为1的等差数列,有
……=……
=……10分
,整理得,解得.……11分
的最大值是7. ……12分
5、解:(I)证明:
是以为首项,2为公比的等比数列。
(II)解:由(I)得
(III)证明:
①
②
②-①,得……10分
即 ③
④
④-③,得
即是等差数列.
21. (Ⅰ)∵函数 f (x) 的图象关于关于直线x=-对称,
∴a≠0,-=-, ∴ b=3a①
∵其图象过点(1,0),则a+b-=0 ②
由①②得a= , b= . 4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 ,∴=
当n≥2时,= .
两式相减得
∴ ,∴
,∴是公差为3的等差数列,且
∴a1 = 4 (a1 =-1舍去)∴an =3n+1 9分
(Ⅲ)=, ①
①--② 得
(1) 当n=1、2时,Tn -5<0, ∴Tn <5;
(2) 当n=3时,Tn -5=0, ∴ Tn =5;
(3) 当≥ 4时,记 h (x) = 2x+1-(3x+7), h ' (x)= 2x+1ln2-3,
当x >3时,有:h'(x)>23+1ln2-3=23×2×ln2-3=8ln22-3=8ln4-3>8-3>0,
则h(x)在(3, +¥)上单调递增,∴ 当n≥4时,2n+1-(3n+7)>0 ∴Tn -5>0, ∴ Tn >5
综上:当n≤2, Tn<5;当n=3, Tn=5;当n≥4, Tn>5. 14分
3、q 的最大值为 , 此时x=0,∴ 点P的坐标为(0,±). 14分
2、解:(1),,
又,∴数列是首项为,公比为的等比数列.
(2)依(Ⅰ)的结论有,即.
(3),又由(Ⅱ)有 .
( ) =
=( 1-)<∴ 对任意的,.