9.(2009全国卷Ⅰ理)(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效)

　 甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局。

　(I)求甲获得这次比赛胜利的概率；

　(II)设表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求得分布列及数学期望。

分析：本题较常规，比08年的概率统计题要容易。

需提醒的是：认真审题是前提，部分考生由于考虑了前两局的概率而导致失分，这是很可惜的，主要原因在于没读懂题。

另外，还要注意表述，这也是考生较薄弱的环节。

8.(2009全国卷Ⅱ文)(本小题满分12分)

某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有10名工人，其中有6名女工人。现采用分层抽样(层内采用不放回简单随即抽样)从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核。

(Ⅰ)求从甲、乙两组各抽取的人数；

(Ⅱ)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；

(Ⅲ)求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率。.　 　

解析：本题考查概率统计知识，要求有正确理解分层抽样的方法及利用分类原理处理事件概率的能力，第一问直接利用分层统计原理即可得人数，第二问注意要用组合公式得出概率，第三问关键是理解清楚题意以及恰有2名男工人的具体含义，从而正确分类求概率。

解：(I)由于甲、乙两组各有10名工人，根据分层抽样原理，要从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核，则从每组各抽取2名工人。

(II)记表示事件：从甲组抽取的工人中恰有1名女工人，则

(III)表示事件：从甲组抽取的2名工人中恰有名男工人，

　　　 表示事件：从乙组抽取的2名工人中恰有名男工人，

　　　 表示事件：抽取的4名工人中恰有2名男工人。.　 　

　　　 与独立， ，且

故　

7.(2009山东卷文)(本小题满分12分)

　 一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆):

按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆.

(1)　　　 求z的值. 　　　

(2)　　　 用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率;

(3)　　　 用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4,　 8.6, 9.2,　 9.6,　 8.7,　 9.3,　 9.0,　 8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.

解: (1).设该厂本月生产轿车为n辆,由题意得,,所以n=2000. z=2000-100-300-150-450-600=400

(2) 设所抽样本中有m辆舒适型轿车,因为用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本,所以,解得m=2也就是抽取了2辆舒适型轿车,3辆标准型轿车,分别记作S₁,S₂;B_1,B₂,B₃,则从中任取2辆的所有基本事件为(S₁, B₁), (S₁, B₂) , (S₁, B₃) (S₂ ,B₁), (S₂ ,B₂), (S₂ ,B₃),( (S₁, S₂),(B₁ ,B₂), (B₂ ,B₃) ,(B₁ ,B₃)共10个,其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有7个基本事件: (S₁, B₁), (S₁, B₂) , (S₁, B₃) (S₂ ,B₁), (S₂ ,B₂), (S₂ ,B₃),( (S₁, S₂),所以从中任取2辆,至少有1辆舒适型轿车的概率为.

(3)样本的平均数为,

那么与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的数为9.4,　 8.6,　 9.2,　 8.7,　 9.3,　 9.0这6个数,总的个数为8,所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为.

[命题立意]:本题为概率与统计的知识内容,涉及到分层抽样以及古典概型求事件的概率问题.要读懂题意,分清类型,列出基本事件,查清个数.,利用公式解答.

6.(2009山东卷理)(本小题满分12分)

　　 在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A处的命中率q为0.25，在B处的命中率为q，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为

	0	2	3	4	5
p	0.03	P1	P2	P3	P4

(1)　　　 求q的值； 　　

(2)　　　 求随机变量的数学期望E;

(3)　　　 试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。

解:(1)设该同学在A处投中为事件A,在B处投中为事件B,则事件A,B相互独立,且P(A)=0.25,, P(B)= q,.

根据分布列知: =0时=0.03,所以，q=0.8.

(2)当=2时, P₁= 　　　

=0.75 q( )×2=1.5 q( )=0.24

当=3时, P₂ ==0.01,

当=4时, P₃==0.48,

当=5时, P₄=

=0.24

所以随机变量的分布列为

	0	2	3	4	5
p	0.03	0.24	0.01	0.48	0.24

随机变量的数学期望

(3)该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率为

;

该同学选择(1)中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72.

由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大.

[命题立意]:本题主要考查了互斥事件的概率,相互独立事件的概率和数学期望,以及运用概率知识解决问题的能力.

5.(2009北京卷理)(本小题共13分)

某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min.

(Ⅰ)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；

(Ⅱ)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望.

[解析]本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随机变量的分布列和期望等基础知识，考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力.

(Ⅰ)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的概率为.

(Ⅱ)由题意，可得可能取的值为0，2，4，6，8(单位：min).

事件“”等价于事件“该学生在路上遇到次红灯”(0，1，2，3，4)，

∴，

∴即的分布列是

	0	2	4	6	8

∴的期望是.

4.(2009北京卷文)(本小题共13分)

某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min.

(Ⅰ)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；

(Ⅱ)这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min的概率.　　　　　　　

[解析]本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力.

(Ⅰ)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的概率为.

(Ⅱ)设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min为事件B，这名学生在上学路上遇到次红灯的事件.

　　　 则由题意，得，

.

由于事件B等价于“这名学生在上学路上至多遇到两次红灯”，

∴事件B的概率为.

3.(2009浙江卷理)(本题满分14分)在这个自然数中，任取个数．

　 (I)求这个数中恰有个是偶数的概率；

　 (II)设为这个数中两数相邻的组数(例如：若取出的数为，则有两组相邻的数

和，此时的值是)．求随机变量的分布列及其数学期望．

解析：(I)记“这3个数恰有一个是偶数”为事件A，则；.　 　

(II)随机变量的取值为的分布列为

	0	1	2
P

所以的数学期望为 .　 　

2.(2009广东卷理)(本小题满分12分)

根据空气质量指数API(为整数)的不同，可将空气质量分级如下表：

对某城市一年(365天)的空气质量进行监测，获得的API数据按照区间，，，，，进行分组，得到频率分布直方图如图5. 　　　　　　　　　　　　　

(1)求直方图中的值；

(2)计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；

(3)求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率.

(结果用分数表示．已知，， ，)

解：(1)由图可知，解得；

(2)；

(3)该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为，则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为，一周至少有两天空气质量为良或轻微污染的概率为.

1.(2009年广东卷文)(本小题满分13分)

随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图7.

(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高;

(2)计算甲班的样本方差

(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学,求身高为176cm的同学被抽中的概率.

[解析](1)由茎叶图可知：甲班身高集中于之间，而乙班身高集中于 之间。因此乙班平均身高高于甲班;

　　　 (2)

　　　 甲班的样本方差为

　 ＝57

　 (3)设身高为176cm的同学被抽中的事件为A；

　 从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm的同学有：(181，173)　 (181，176)

　(181，178) (181，179) (179，173) (179，176) (179，178)　 (178，173)

　 (178,　 176)　　 (176，173)共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件；

　 　；

18.(2009湖北卷理)样本容量为200的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计,样本数据落在内的频数为　　　　 ，数据落在内的概率约为　　　　　 .

[答案]64　　 0.4

[解析]由于在范围内频数、组距是0.08，所以频率是0.08*组距=0.32，而频数=频率*样本容量，所以频数=(0.08*4)*200=64

同样在范围内的频数为16，所以在范围内的频数和为80，概率为80/200=0.4