6.线面平行与垂直的判定

(1)两直线平行的判定

①定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行.

②如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即若a∥α,a?β，α∩β=b,则a∥b.

③平行于同一直线的两直线平行，即若a∥b,b∥c,则a∥c.

④两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a∥b

　(2)两直线垂直的判定

①定义：若两直线成90°角，则这两直线互相垂直.

②一条直线与两条平行直线中的一条垂直，也必与另一条垂直.即若b∥c,a⊥b,则a⊥c

③一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的任意一条直线.即若a⊥α,bα，a⊥b.④三垂线定理和它的逆定理：在平面内的一条直线，若和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直.

　(3)直线与平面平行的判定

①定义：若一条直线和平面没有公共点，则这直线与这个平面平行.

②如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行.即

若aα,bα，a∥b,则a∥α.

③两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面，即若α∥β,lα，则l∥β.

　(4)直线与平面垂直的判定

①定义：若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直.

②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.即若mα，nα，m∩n=B,l⊥m,l⊥n,则l⊥α.

③如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.即若l∥a,a⊥α,则l⊥α.

④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面，即若α∥β,l⊥β，则l⊥α.

⑤如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，即若α⊥β,a∩β=α，lβ，l⊥a,则l⊥α.

　(5)两平面平行的判定

①定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行，即无公共点α∥β.

②如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，即若a,bα，a∩b=P,a∥β,b∥β,则α∥β.

③垂直于同一直线的两平面平行.即若α⊥a,β⊥a,则α∥β.

④平行于同一平面的两平面平行.即若α∥β,β∥γ,则α∥γ.

　(6)两平面垂直的判定

①定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直，即二面角α－a－β=90°α⊥β.

②如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，即若l⊥β,lα，则α⊥β.

③一个平面垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个.即若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ.

　(7)线、线关系和线、面关系的辨证法

5.异面直线的判定

证明两条直线是异面直线通常采用反证法.

有时也可用“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线”.

4.空间线面的位置关系

　　　　　　　　　　　 平行-没有公共点

　　　　　　　　 共面

(1)直线与直线　　　　 相交-有且只有一个公共点

异面(既不平行，又不相交)

　　　　　　　 直线在平面内-有无数个公共点

(2)直线和平面　 直线不在平面内　 平行-没有公共点

　　　　　　　 　(直线在平面外)　 相交-有且只有一个公共点

　　　　　　　　 相交-有一条公共直线(无数个公共点)

(3)平面与平面

　　　　　　　　 平行-没有公共点

2.平面的基本性质

公理1　 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.

公理2 　如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.

公理3　 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面.

推论1　 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.

推论2　 经过两条相交直线，有且只有一个平面.

推论3　 经过两条平行直线，有且只有一个平面.

	间接证法

1、平面：几何里的平面是无限伸展的.平面通常用一个平行四边形来表示.

(1)平面的表示方法：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 。

(2)用集合论中的符号表示它们之间的关系，例如：A∈l表示点A在直线l上；　

　Aα表示点A不在平面α内；lα表示直线l在平面α内；　

aα表示直线a不在平面α内；l∩m=A表示直线l与直线m相交于A点；

α∩l=A表示平面α与直线l交于A点；α∩β=l表示平面α与平面β相交于直线l.

18.如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，, , ,为的中点，为的中点

(Ⅰ)证明：直线；

(Ⅱ)求异面直线AB与MD所成角的大小；

(Ⅲ)求点B到平面OCD的距离。

17.如图，在四棱锥中，底面是矩形．已知．

(Ⅰ)证明平面；

(Ⅱ)求异面直线与所成的角的大小；

(Ⅲ)求点B到平面OCD的距离。

16.在体积为的球的表面上有A，B，C三点，AB=1，BC=，A，C两点的球面距离为，则球心到平面ABC的距离为_________．

15.如图，已知球O点面上四点A、B、C、D，DA平面ABC，ABBC，DA=AB=BC=，则球O点体积等于___________。

14.若三棱锥的三个侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是　　 .