4．函数y=ksinx+b的最大值为2,　 最小值为-4，求k,b的值

解：当k>0时

当k<0时 (矛盾舍去)　 ∴k=3　 b=-1

3．　 求下列函数的最值：

　 1° y=sin(3x+)-1　　 2° y=sin²x-4sinx+5　 3° y=

解：1° 当3x+=2kp+即 x= (kÎZ)时y_max=0

当3x+=2kp-即x= (kÎZ)时y_min=-2

2° y=(sinx-2)²+1　 ∴当x=2kp- kÎZ时y_max=10

当x=2kp- kÎZ时y_min= 2

3° y=-1+ 当x=2kp+p　 kÎZ时 y_max=2

当x=2kp　 kÎZ时 y_min=

2． 直接写出下列函数的定义域、值域：

　 1°　 y=　　　　　　 2° y=

解：1°当x¹2kp- kÎZ时函数有意义，值域:[+∞]

2 °xÎ[2kp+, 2kp+] (kÎZ)时有意义, 值域[0, ]

1．求下列函数的周期：

1°y=sin(2x+)+2cos(3x-)　 　2° y=|sinx|　 3° y=2sinxcosx+2cos²x-1

解：1° y₁=sin(2x+)　 最小正周期T₁=p

　　　 y₂=2cos(3x-) 最小正周期 T₂=

∴T为T₁ ,T₂的最小公倍数2p　 ∴T=2p

　　　　 2°　 T=p　

　　　　 　3° y=sin2x+cos2x　　　 ∴T=p

例1 求使下列函数取得最大值的自变量x的集合，并说出最大值是什么

(1)y＝cosx+1，x∈R；

(2)y＝sin2x，x∈R

解：(1)使函数y＝cosx+1，x∈R取得最大值的x的集合，就是使函数y＝cosx，x∈R取得最大值的x的集合{x｜x＝2kπ，k∈Z}

函数y＝cosx+1，x∈R的最大值是1+1＝2

(2)令Z＝2x，那么x∈R必须并且只需Z∈R，且使函数y＝sinZ，Z∈R取得最大值的Z的集合是{Z｜Z＝+2kπ，k∈Z}

由2x＝Z＝+2kπ，

得x＝+kπ

即 使函数y＝sin2x，x∈R取得最大值的x的集合是{x｜x＝+kπ，k∈Z}

函数y＝sin2x，x∈R的最大值是1

例2求下列函数的定义域：

(1)y＝1+　　 (2)y＝

解：(1)由1+sinx≠0，得sinx≠－1

即x≠+2kπ(k∈Z)

∴原函数的定义域为{x｜x≠+2kπ，k∈Z}

(2)由cosx≥0得－+2kπ≤x≤+2kπ(k∈Z)

∴原函数的定义域为［－+2kπ，+2kπ］(k∈Z)

例3求函数y＝－cosx的单调区间

解：由y＝－cosx的图象可知：

单调增区间为［2kπ，(2k+1)π］(k∈Z)

单调减区间为［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)

例4求下列三角函数的周期：1° y=sin(x+)　 2° y=cos2x　 3° y=3sin(+)

解：1° 令z= x+ 而 sin(2p+z)=sinz　 即：f (2p+z)=f (z)

f [(x+2p)+ ]=f (x+)　　 ∴周期T=2p

2°令z=2x　 ∴f (x)=cos2x=cosz=cos(z+2p)=cos(2x+2p)=cos[2(x+p)]

即：f (x+p)=f (x)　　 ∴周期T=p

　　　　 3°令z=+ 则

f (x)=3sinz=3sin(z+2p)=3sin(++2p)=3sin()=f (x+4p)

∴周期T=4p　　　　

　(1)定义域：

正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R［或(－∞，+∞)］，

分别记作：

y＝sinx，x∈R

y＝cosx，x∈R

(2)值域

因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以｜sinx｜≤1，｜cosx｜≤1，即

－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1

也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］

其中正弦函数y=sinx,x∈R

①当且仅当x＝+2kπ，k∈Z时，取得最大值1

②当且仅当x＝－+2kπ，k∈Z时，取得最小值－1

而余弦函数y＝cosx，x∈R

①当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1

②当且仅当x＝(2k+1)π，k∈Z时，取得最小值－1

(3)周期性

由sin(x+2kπ)＝sinx，cos(x+2kπ)＝cosx　 (k∈Z)知：

正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的

一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期

由此可知，2π，4π，……，－2π，－4π，……2kπ(k∈Z且k≠0)都是这两个函数的周期

对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期

注意：

1°周期函数xÎ定义域M，则必有x+TÎM, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界；

2°“每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数(如f (x₀+t)¹f (x₀))

3°T往往是多值的(如y=sinx　 2p,4p,…,-2p,-4p,…都是周期)周期T中最小的正数叫做f (x)的最小正周期(有些周期函数没有最小正周期)

根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π

(4)奇偶性

由sin(－x)＝－sinx

cos(－x)＝cosx

可知：y＝sinx为奇函数

y＝cosx为偶函数

∴正弦曲线关于原点O对称,余弦曲线关于y轴对称

(5)单调性

从y＝sinx，x∈［－］的图象上可看出：

当x∈［－，］时，曲线逐渐上升，sinx的值由－1增大到1

当x∈［，］时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到－1

结合上述周期性可知：

正弦函数在每一个闭区间［－+2kπ，+2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［+2kπ，+2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1

余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2kπ，(2k+1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1

4．用正弦函数和余弦函数的图象解最简单的三角不等式

3．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法)：

正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：

(0,0)　 (,1)　 (p,0)　 (,-1)　 (2p,0)

(1)y=cosx,　 xÎR与函数y=sin(x+)　 xÎR的图象相同

(2)将y=sinx的图象向左平移即得y=cosx的图象

(3)也同样可用五点法作图：y=cosx　 xÎ[0,2p]的五个点关键是

(0,1)　 (,0)　 (p,-1)　 (,0)　 (2p,1)

2．用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]、余弦函数y=cosx，x∈[0，2π]的图象(几何法)：

把y=sinx，x∈[0，2π]和y=cosx，x∈[0，2π]的图象，沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx，x∈R和y=cosx，x∈R的图象，分别叫做正弦曲线和余弦曲线．

1． 正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，过P作x轴的垂线，垂足为M，则有

，

向线段MP叫做角α的正弦线，有向线段OM叫做角α的余弦线．