10．(2005上海) 如图，点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于轴上方，．

(1)求点P的坐标；

(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于，求椭圆上的点到点M的距离的最小值．

解：(1)由已知可得点A(－6，0)，F(4，0)

设点P的坐标是，由已知得

则2x²+9x-18=0,

,　 ∴P点的坐标是

(2)直线AP的方程是

设点M的坐标是(m，0)，则M到直线AP的距离是，

于是

椭圆上的点到点M的距离d有

由于

[探索题](2006湖北)设A、B分别为椭圆()的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线。

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)设P为右准线上不同于点(4，0)的任意一点，若直线AP、BP分别与椭圆相交于异于A、B的点M、N，证明点B在以MN为直径的圆内。

解(Ⅰ)依题意得　 解得　　 从而

故椭圆方程为

(Ⅱ)解法1：由(Ⅰ)得设

M点在椭圆上，①　　　　 又M点异于顶点A、B，

由P、A、M三点共线可得　　 从而

∴　　　　　　　　　 ②

将①式代入②式化简得

于是为锐角，从而为钝角，

故点B在以MN为直径的圆内。

解法二：由(Ⅰ)得．设,

则直线AP的方程为,直线BP的方程为．

点M、N分别在直线AP、BP上，

．从而③

联立消去得=0

　是方程的两根,,即④

又⑤

于是由③、④式代入⑤式化简可得

N点在椭圆上，且异于顶点A、B，又，

从而

故为钝角，即点B在以MN为直径的圆内。

解法3：由(Ⅰ)得，设

则．又MN的中点Q的坐标为，

化简得　　　　　　　　　 ⑥

直线AP的方程为，直线BP的方程为

点P在准线上，

，即⑦

又M点在椭圆上,,即　　　　　　　　　　　　 ⑧

于是将⑦、⑧式代入⑥式化简可得

从而B在以MN为直径的圆内。

9． 如下图，已知△OFQ的面积为S，且·=1．

(1)若＜S＜2，求向量与的夹角θ的取值范围；

(2)设||=c(c≥2)，S=c，若以O为中心，F为一个焦点的椭圆经过点Q，当||取最小值时，求椭圆的方程．

解：(1)由已知，得

||||sin(π－θ)=S，

||||cosθ=1．

∴tanθ=2S．

∵＜S＜2，∴1＜tanθ＜4．

则＜θ＜arctan4．

(2)以O为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系．

设椭圆方程为+=1(a＞b＞0)，Q(x，y)．

=(c，0)，则=(x－c，y)．

∵||·y=c，∴y=．

又∵·=c(x－c)=1，∴x=c+．

则||==(c≥2)．

可以证明：当c≥2时，函数t=c+为增函数，

∴当c=2时，

||_min==，

此时Q(，)．将Q的坐标代入椭圆方程，

a²－b²=4．　　　　　　 b²=6．

∴椭圆方程为+=1．

8． 如下图，设E：+=1(a＞b＞0)的焦点为F₁与F₂，且P∈E，∠F₁PF₂=2θ．

求证：△PF₁F₂的面积S=b²tanθ．

剖析：有些圆锥曲线问题用定义去解决比较方便．如本题，设|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，则S=r₁r₂sin2θ．若能消去r₁r₂，问题即获解决．

证明：设|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，

则S=r₁r₂sin2θ，又|F₁F₂|=2c，

由余弦定理有

(2c)²=r₁²+r₂²－2r₁r₂cos2θ=(r₁+r₂)²－2r₁r₂－2r₁r₂cos2θ=(2a)²－2r₁r₂(1+cos2θ)，

于是2r₁r₂(1+cos2θ)=4a²－4c²=4b²．

所以r₁r₂=．

这样即有S=·sin2θ=b²=b²tanθ．

评述：解与△PF₁F₂(P为椭圆上的点)有关的问题，常用正弦定理或余弦定理，并结合|PF₁|+|PF₂|=2a来解决．

7． 已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆相交于点P和点Q，且OP⊥OQ，|PQ|=，求椭圆方程．

解：设椭圆方程为mx²+ny²=1(m>0，n>0)，

设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，解方程组

y=x+1，

mx²+ny²=1．

消去y，整理得(m+n)x²+2nx+n－1=0．

Δ=4n²－4(m+n)(n－1)>0，即m+n－mn>0，OP⊥OQx₁x₂+y₁y₂=0，

即x₁x₂+(x₁+1)(x₂+1)=0，2x₁x₂+(x₁+x₂)+1=0，∴－+1=0．

∴m+n=2．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

由弦长公式得2·=()²，将m+n=2代入，得m·n=．　　　 ②

n=　　　　 n=．　

∴椭圆方程为+y²=1或x²+=1．

5． +＝1；　 6．

[解答题]

4． ∵|PF₁|=,　 AB∥PO，ΔOPF₁∽ΔABO

∴=．　 b=c． ∴e===．

6． (2005重庆)已知是圆为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为　　　　　　　　 ．

简答提示：1．C；2．D；3． ；

5．已知P是椭圆+＝1(a＞b＞0)上任意一点，P与两焦点连线互相垂直，且P到两准线距离分别为6、12，则椭圆方程为____________．

4．已知F₁为椭圆的左焦点，A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF₁⊥F₁A，PO∥AB(O为椭圆中心)时，则椭圆的离心率为________．

3．点P在椭圆+=1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标是____________．