2．(2005湖南)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，△OAF的面积为(O为原点)，则两条渐近线的夹角为(　 )

A．30º　　　　　 B．45º　　　　　　　　 C．60º　　　　　　　　 D．90º

1．(2005全国卷II)已知双曲线的焦点为F₁、F₂，点M在双曲线上且MF₁⊥x轴，则F₁到直线F₂M的距离为　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 )

A．　　　　　　　　 B．　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　　 D．

4．应擅于将几何关系与代数关系相互转化,把平面解析几何问题与向量、平面几何、三角函数、函数、导数、不等式等有机结合相互转化;养成整体处理的习惯。

同步练习　　　 8．2双曲线方程及性质

[选择题]

3．解题中,应重视双曲线两种定义的灵活应用,减少运算量,值提高解题质量

2．会利用方程求参数值和确定曲线的性质，利用曲线的范围、不等式、判别式、目标函数解参数范围或求最值。

1．求双曲线的方程，常用待定系数法,定义法,首先确定曲线类型和方程的形式，再由题设条件确定参数值，应“特别”掌握；

(1)双曲线中的关系与椭圆中的关系是不同的，应注意区别；

(2)当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏；

(3)已知渐近线的方程bx±ay=0，可设双曲线方程为b²x²－a²y²=λ(λ≠0)，

[例1]根据下列条件，求双曲线的标准方程：

(1) 与双曲线有共同渐近线，且过点；

(2)双曲线的焦点在轴上，且过点和，P是双曲线上异于A、B的任一点，ΔAPB的垂心H总在此双曲线上。

[解]：(1)设所求双曲线方程为，将点代入得，所以双曲线方程为。

(2)设双曲线方程为为双曲线上任一点，BN，PM是ΔAPB的两条高，则BN方程为　　 ①　

PM方程为　 ②

又　 ③　　

　得，又H在双曲线上，∴　 ④

∴，所以双曲线方程为．

[例2]已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为。

　　 (1) 求双曲线C的方程；

　　 (2) 若直线l：与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且(其中O为原点)，求k的取值范围。

解：(Ⅰ)设双曲线方程为　

由已知得

故双曲线C的方程为

(Ⅱ)将

由直线l与双曲线交于不同的两点得

即　 ①　 设，则

而

于是　　 ②

由①、②得　

故k的取值范围为

提炼方法：求参数的取值范围是个综合性的问题,常用的方法有：Δ法,目标函数法,不等式法,几何法,向量法等．

[例3] 　设点P到点M(－1，0)、N(1，0)距离之差为2m，到x轴、y轴距离之比为2，求m的取值范围

分析：由|PM|－|PN|=2m，得||PM|－|PN||=2|m|．知点P的轨迹是双曲线，由点P到x轴、y轴距离之比为2，知点P的轨迹是直线，由交轨法求得点P的坐标，进而可求得m的取值范围

解：设点P的坐标为(x，y)，依题意得=2，

即y=±2x(x≠0)　　　　　　　　　　　　　　 　 ①

因此，点P(x，y)、M(－1，0)、N(1，0)三点不共线，

从而得　 ||PM|－|PN||<|MN|=2

∵||PM|－|PN||=2|m|>0，　 ∴0<|m|<1

因此，点P在以M、N为焦点，实轴长为2|m|的双曲线上

故－=1　　　 　　　　　　 ②

将①代入②，并解得x²=，

∵1－m²>0，∴1－5m²>0

解得0<|m|<，

即m的取值范围为(－，0)∪(0，)

解题点评：解决此题的关键是用好双曲线的定义,取值范围的求法是--

[例4]已知双曲线的离心率，左，右焦点分别的为，左准线为，能否在双曲线的左支上找到一点P，使得是P到的距离与的等比中项。

[解]：设在左半支上存在点P，使，由双曲线的第二定义知，即　　　　　　 ①

再由双曲线的第一定义，得　　　 ②

由①②，解得：

由在Δ中有　 ，　　 　　　③

利用，从③式得　　 解得

，与已知矛盾。

∴符合条件的点P不存在。

思维点拨：利用定义及假设求出离心率的取值是关键。

[研讨．欣赏](2005黄冈调研)已知椭圆C的方程为+=1(a>b>0)，双曲线－=1的两条渐近线为l₁、l₂，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l₁，又l与l₂交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B．(如下图)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(1)当l₁与l₂夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程；

(2)当=λ时，求λ的最大值．

剖析：(1)求椭圆方程即求a、b的值，由l₁与l₂的夹角为60°易得=，由双曲线的焦距为4易得a²+b²=4，进而可求得a、b．

(2)由=λ，欲求λ的最大值，需求A、P的坐标，而P是l与l₁的交点，故需求l的方程．将l与l₂的方程联立可求得P的坐标，进而可求得点A的坐标．将A的坐标代入椭圆方程可求得λ的最大值．

解：(1)∵双曲线的渐近线为y=±x，两渐近线夹角为60°，又<1，

∴∠POx=30°，即=tan30°=．　 ∴a=b．

又a²+b²=4， ∴a²=3，b²=1．　　 故椭圆C的方程为+y²=1．

(2)由已知l：y=(x－c)，与y=x解得P(，)，

由=λ得A(，)．代入椭圆方程得

(c²+λa²)²+λ²a⁴=(1+λ)²a²c²．

∴(e²+λ)²+λ²=e²(1+λ)²．

∴λ²==－［(2－e²)+］+3≤3－2．

∴λ的最大值为－1．

评述：本题考查了椭圆、双曲线的基础知识，及向量、定比分点公式、重要不等式的应用．解决本题的难点是通过恒等变形，利用重要不等式解决问题的思想．本题是培养学生分析问题和解决问题能力的一道好题．

6．(2006湖南)过双曲线的左顶点作斜率为1的直线, 若与双曲线的两条渐近线分别相交于点,　 且, 则双曲线的离心率是_______

简答：1-3、ACCC； 5． +y²＝1； 6． ．

5．(2004全国II)设中心在原点的椭圆与双曲线2x²－2y²＝1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是　　　　　　　　　 　．　

4．(2005北京)已知双曲线的两个焦点为，，P是此双曲线上的一点，且，，则该双曲线的方程是(　 )

A．　 B．　 C．　 D．