2.了解小说《简•爱》的故事梗概及时代背景。

1.了解作者夏洛蒂•勃朗特。

4.简•爱

学习目标

4．制作一个容积为的圆柱形容器(有底有盖)，问圆柱底半径和

高各取多少时，用料最省？(不计加工时的损耗及接缝用料)

3．若，求证：的最小值为3

2．1°时求的最小值，的最小值

2°设，求的最大值(5)

3°若, 求的最大值

4°若且，求的最小值

1．求下列函数的最值：

1° 　　(min=6)

2°　 　()

例1 求函数的最大值，下列解法是否正确？为什么？

解一： ，∴

解二：当即时，

答：以上两种解法均有错误

解一错在取不到“=”，即不存在使得；

解二错在不是定值(常数)

正确的解法是：

当且仅当即时

例2 若，求的最值

解：

∵　　 ∴　　

从而　

即

例3设且，求的最大值

解：∵　　 ∴

又，∴

即　

例4 已知且，求的最小值

解：

当且仅当即时

例5 将一块边长为的正方形铁皮，剪去四个角(四个全等的正方形)，作成一个无盖的铁盒，要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最大容积是多少？

解：设剪去的小正方形的边长为则其容积为

当且仅当即时取“=”

即当剪去的小正方形的边长为时，铁盒的容积为

例6 已知0 < x < 1, 0 < a < 1，试比较的大小

解一：

∵0 < 1 - x² < 1,　 　　∴

∴

解二：

∵0 < 1 - x² < 1,　 1 + x > 1,　 ∴

∴　 ∴

解三：∵0< x <1，∴0 < 1 - x < 1, 1< 1 + x < 2, ∴

∴左 - 右 =

∵0< 1 - x² <1, 且0< a <1 ∴ ∴

例7 已知x² = a² + b²，y² = c² + d²，且所有字母均为正，求证：xy≥ac + bd

证一：(分析法)∵a, b, c, d, x, y都是正数

∴要证：xy≥ac + bd

只需证：(xy)²≥(ac + bd)²

即 (a² + b²)(c² + d²)≥a²c² + b²d² + 2abcd

展开得：a²c² + b²d² + a²d² + b²c²≥a²c² + b²d² + 2abcd

即 a²d² + b²c²≥2abcd　 　　

由基本不等式，显然成立,∴xy≥ac + bd

证二：(综合法)xy =

　≥

证三：(三角代换法)∵x² = a² + b²，∴不妨设a = xsina,　 b = xcosa

∵y² = c² + d²∴不妨设 c = ysinb,　 d = ycosb

　 ∴ac + bd = xysinasinb + xycosacosb = xycos(a - b)≤xy

例8 已知x₁, x₂均为正数，求证：

证一：(分析法)由于不等式两边均为正数，平方后只须证：

即

再平方

化简整理得 　(显然成立) ∴原式成立

证二：(反证法)假设

化简可得 　(不可能)∴原式成立

证三：(构造法)构造矩形ABCD，使AB = CD = 1, BP = x₁, PC = x₂

当ÐAPB = ÐDPC时，AP + PD为最短取BC中点M，有ÐAMB = ÐDMC, BM = MC =,∴ AP + PD ≥ AM + MD

即

∴

2．简述不等式证明的几种常用方法:比较、综合、分析、换元、反证、放缩、构造

1．基本不等式、极值定理；