4.应用：①可直观地读取振幅A、周期T以及各时刻的位移x；

②判定各时刻的回复力、速度、加速度方向；

③判定某段时间内位移、回复力、加速度、速度、动能、势能、等物理量的变化情况

注意：①振动图象不是质点的运动轨迹．

②计时点一旦确定，形状不变，仅随时间向后延伸。

③简谐运动图像的具体形状跟计时起点及正方向的规定有关。

规律方法1、简谐运动的特点

[例4](1995年全国)一弹簧振子作简谐振动，周期为T(　　　　 )

　　 A．若t时刻和(t+Δt)时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则Δt一定等于T的整数倍

　　 B．若t时刻和(t+Δt)时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则上t一定等于T/2的整数倍

　　 C．若Δt=T，则在 t时刻和(t+Δt)时刻振子运动的加速度一定相等

　　 D．若Δt＝T/2，则在t时刻和(t十Δt)时刻弹簧的长度一定相等

解析:做简谐运动时，振子由平衡位置到最大位移，再由最大位移回到平衡位置，两次经过同一点时，它们的位移大小相等、方向相同，其时间间隔并不等于周期的整数倍，选项A错误。同理在振子由指向最大位移，到反向最大位移的过程中，速度大小相等、方向相反的位里之间的时间间隔小于T/2，选项B错误。相差T/2的两个时刻，弹黄的长度可能相等，振子从平衡位置开始振动、再回到平衡位置时，弹簧长度相等、也可能不相等、选项D错误。若Δt＝T，则根据周期性，该振子所有的物理量应和t时刻都相同，a就一定相等，所以，选项C正确。

　　 本题也可通过振动图像分析出结果，请你自己尝试一下。　　

[例]如图所示，一弹簧振子在光滑水平面内做简谐振动，O为平衡位置，A,B为最大位移处，当振子由A点从静止开始振动，测得第二次经过平衡位置所用时间为t秒，在O点上方C处有一个小球，现使振子由A点，小球由C点同时从静止释放，它们恰好到O点处相碰，试求小球所在C点的高度H是多少？

解析:由已知振子从A点开始运动，第一次经过O点的时间是1/4周期，第二次经过O点是3/4周期，设其周期T，所以有：t=3T/4,T=4t/3;

　　 振子第一次到O点的时间为；振子第二次到点的时间为；振子第三次到O点的时间为……第n次到O点的时间为(n＝0．1,2,3……)

C处小球欲与振子相碰，它和振子运动的时间应该是相等的；小球做自由落体运动，所以有

3.特点：简谐运动的图象是正弦(或余弦)曲线．

2.坐标系：以横轴表示时间，纵轴表示位移，用平滑曲线连接各时刻对应的位移末端即得

1.物理意义：表示振动物体(或质点)的位移随时间变化的规律．

说明:简谐运动的位移、回复力、加速度、速度都随时间做周期性变化(正弦或余弦函数)，变化周期为T，振子的动能、势能也做周期性变化，周期为 T／2。

①凡离开平衡位置的过程，v、E_k均减小，x、F、a、E_P均增大；凡向平衡位置移动时，v、E_k均增大, x、F、a、E_P均减小.

②振子运动至平衡位置时，x、F、a为零，E_P最小，v、E_k最大；当在最大位移时，x、F、a、E_P最大，v、E_k最为零；

③在平衡位置两侧的对称点上,x、F、a、v、E_k、E_P的大小均相同．

[例3]如图所示，一弹簧振子在振动过程中，经a、b两点的速度相同，若它从a到b历时0．2s，从b再回到a的最短时间为0．4s，则该振子的振动频率为(　　 )。

　　 (A)1Hz；(B)1.25Hz　 (C)2Hz；(D) 2．5Hz

　 解析：振子经a、b两点速度相同，根据弹簧振子的运动特点，不难判断a、b两点对平衡位置(O点)一定是对称的，振子由b经O到a所用的时间也是0．2s，由于“从b再回到a的最短时间是0．4s，”说明振子运动到b后是第一次回到a点，且Ob不是振子的最大位移。设图中的c、d为最大位移处，则振子从b→c→b历时0．2s，同理，振子从a→d→a，也历时0．2s，故该振子的周期T＝0．8s，根据周期和频率互为倒数的关系，不难确定该振子的振动频率为1．25Hz。　　 综上所述，本题应选择(B)。

4、在水平方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧的弹力；在竖直方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合力。

[例2]如图所示，在质量为M的无下底的木箱顶部用一轻弹簧悬挂质量均为m(M≥m)的D、B两物体．箱子放在水平地面上，平衡后剪断D、B间的连线，此后D将做简谐运动．当D运动到最高点时，木箱对地压力为(　　　　 )

　　 A、Mg； B．(M－m)g； C、(M+m)g ；　 D、(M+2m)g

[解析]当剪断D、B间的连线后，物体D与弹簧一起可当作弹簧振子，它们将作简谐运动，其平衡位置就是当弹力与D的重力相平衡时的位置．初始运动时D的速度为零，故剪断D、B连线瞬间D相对以后的平衡位置的距离就是它的振幅，弹簧在没有剪断D、B连线时的伸长量为x₁＝2 mg／k，在振动过程中的平衡位置时的伸长量为x₂＝mg／k，故振子振动过程中的振幅为A＝x₂－x₁= mg／k

　　 D物在运动过程中，能上升到的最大高度是离其平衡位移为A的高度，由于D振动过程中的平衡位置在弹簧自由长度以下mg／k处，刚好弹簧的自由长度处就是物D运动的最高点，说明了当D运动到最高点时，D对弹簧无作用力，故木箱对地的压力为木箱的重力Mg．

点评：一般说来，弹簧振子在振动过程中的振幅的求法均是先找出其平衡位置，然后找出当振子速度为零时的位置，这两个位置间的距离就是振幅．本题侧重在弹簧振子运动的对称性．解答本题还可以通过求D物运动过程中的最大加速度，它在最高点具有向下的最大加速度，说明了这个系统有部分失重，从而确定木箱对地面的压力

3、可以证明，竖直放置的弹簧振子的振动也是简谐运动，周期公式也是。这个结论可以直接使用。

2、弹簧振子振动周期：T=2，只由振子质量和弹簧的劲度决定，与振幅无关，也与弹簧振动情况(如水平方向振动或竖直方向振动或在光滑的斜面上振动或在地球上或在月球上或在绕地球运转的人造卫星上)无关。

1、一个可作为质点的小球与一根弹性很好且不计质量的弹簧相连组成一个弹簧振子．一般来讲，弹簧振子的回复力是弹力(水平的弹簧振子)或弹力和重力的合力(竖直的弹簧振子)提供的．弹簧振子与质点一样，是一个理想的物理模型．

2、简谐振动：物体所受的回复力跟位移大小成正比时，物体的振动是简偕振动．

①受力特征：回复力F=-KX。

②运动特征：加速度a=一kx／m，方向与位移方向相反，总指向平衡位置。简谐运动是一种变加速运动，在平衡位置时，速度最大，加速度为零；在最大位移处，速度为零，加速度最大。

说明：①判断一个振动是否为简谐运动的依据是看该振动中是否满足上述受力特征或运动特征。

②简谐运动中涉及的位移、速率、加速度的参考点，都是平衡位置.

[例1]如图所示，轻质弹簧上端固定，下端连结一小球，平衡时小球处于O位置，现将小球由O位置再下拉一小段距离后释放(在弹性限度内)，试证明释放后小球的上下振动是简谐振动，

证明：设小球的质量为m，弹簧的劲度系数为k，小球处在O位置有：mg-kΔx=0………①

式中Δx为小球处在O位置时弹簧的伸长量．

再设小球离开O点的位移x(比如在O点的下方)，并取x为矢量正方向，此时小球受到的合外力∑F_x为：∑F_x =mg－k(x+Δx)②

由①②两式可得：∑F_x =－kx,　　 所以小球的振动是简谐振动，O点即其振动的平衡位置．

　点评：这里的F=-kx，不是弹簧的弹力，而是弹力与重力的合力，即振动物体的回复力．此时弹力为k(x+Δx)；所以求回复力时F＝kx，x是相对平衡位置的位移，而不是相对弹簧原长的位移．