4．组合

(1)组合的定义，排列与组合的区别；

(2)组合数公式：C_n^m==；

(3)组合数的性质

①C_n^m=C_n^n-m；②；③rC_n^r=n·C_n-1^r-1；④C_n⁰+C_n¹+…+C_nⁿ=2ⁿ；⑤C_n⁰-C_n¹+…+(-1)ⁿC_nⁿ=0，即 C_n⁰+C_n²+C_n⁴+…=C_n¹+C_n³+…=2^n-1；

3．排列

(1)排列定义，排列数

(2)排列数公式：系 ==n·(n－1)…(n－m+1)；

(3)全排列列： =n!；

(4)记住下列几个阶乘数：1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720；

2．两个基本原理

(1)分类计数原理中的分类；

(2)分步计数原理中的分步；

正确地分类与分步是学好这一章的关键。

1．排列、组合、二项式知识相互关系表

本部分内容主要包括分类计数原理、分步计数原理、排列与组合、二项式定理三部分；考查内容：(1)两个原理；(2)排列、组合的概念，排列数和组合数公式，排列和组合的应用；(3)二项式定理，二项展开式的通项公式，二项式系数及二项式系数和。

排列、组合不仅是高中数学的重点内容，而且在实际中有广泛的应用，因此新高考会有题目涉及；二项式定理是高中数学的重点内容，也是高考每年必考内容，新高考会继续考察。

考察形式：单独的考题会以选择题、填空题的形式出现，属于中低难度的题目，排列组合有时与概率结合出现在解答题中难度较小，属于高考题中的中低档题目；预测2007年高考本部分内容一定会有题目涉及，出现选择填空的可能性较大，与概率相结合的解答题出现的可能性较大.

3．二项式定理

能用计数原理证明二项式定理； 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.

2．排列与组合

通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题；

1．分类加法计数原理、分步乘法计数原理

通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题；

数学教材是学习数学基础知识、形成基本技能的“蓝本”,能力是在知识传授和学习过程中得到培养和发展的。新课程试卷中平面向量的有些问题与课本的例习题相同或相似，虽然只是个别小题，但它对学习具有指导意义，教学中重视教材的使用应有不可估量的作用。因此，学习阶段要在掌握教材的基础上把各个局部知识按照一定的观点和方法组织成整体，形成知识体系。

学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离等。由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点.

(1)向量的加法与减法是互逆运算；

(2)相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件；

(3)向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线(即重合)，而向量平行则包括共线(重合)的情况；

(4)向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系.

题型1：平面向量的概念

例1．(1)给出下列命题：

①若||＝||，则=；

②若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；

③若=，=，则=；

④=的充要条件是||=||且//；

⑤ 若//，//，则//；

其中正确的序号是　　　　　 。

(2)设为单位向量，(1)若为平面内的某个向量，则=||·;(2)若与a₀平行，则=||·；(3)若与平行且||=1，则=。上述命题中，假命题个数是(　　 )

A．0　　　　　　　　　　　　　　 B．1　　　　　　　　　　　　　　 C．2　　　　　　　　　　　　　　 D．3

解析：(1)①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同；

②正确；∵ ，∴ 且，

又 A，B，C，D是不共线的四点，∴ 四边形 ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则，且，

因此，。

③正确；∵ =，∴ ，的长度相等且方向相同；

又＝，∴ ，的长度相等且方向相同，

∴ ，的长度相等且方向相同，故＝。

　　 ④不正确；当//且方向相反时，即使||=||，也不能得到=，故||=||且//不是=的充要条件，而是必要不充分条件；

　　 ⑤不正确；考虑=这种特殊情况；

　　 综上所述，正确命题的序号是②③。

点评：本例主要复习向量的基本概念。向量的基本概念较多，因而容易遗忘。为此，复习时一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想。

(2)向量是既有大小又有方向的量，与||模相同，但方向不一定相同，故(1)是假命题；若与平行，则与方向有两种情况：一是同向二是反向，反向时=－||，故(2)、(3)也是假命题。综上所述，答案选D。

点评：向量的概念较多，且容易混淆，故在学习中要分清，理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量等概念。

题型2：平面向量的运算法则

例2．(1)如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心，若=，=，试用，将向量，，， 表示出来。

(1)解析：根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则，用向量，来表示其他向量，只要考虑它们是哪些平行四边形或三角形的边即可。

因为六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心O及顶点A，B，C四点构成平行四边形ABCO，

所以，=+，= =+，

由于A，B，O，F四点也构成平行四边形ABOF，所以=+=+=++=2+，

同样在平行四边形 BCDO中，＝＝＝+(+)＝+2，＝＝－。

点评：其实在以A，B，C，D，E，F及O七点中，任两点为起点和终点，均可用 ，表示，且可用规定其中任两个向量为，，另外任取两点为起点和终点，也可用，表示。

(3)(2008湖南文，4)

11．已知向量，，则=_____________________.

[答案]2

[解析]由

(4)(2009年广东卷文)已知平面向量a= ，b=， 则向量 (　　 )

A平行于轴 　 　　　　　 　　　　　B.平行于第一、三象限的角平分线

C.平行于轴　 　　　 　　　　　 　　　　　D.平行于第二、四象限的角平分线　

答案　 C

解析　 ,由及向量的性质可知,C正确.

例4．设为未知向量，、为已知向量，解方程2-(5+3-4)+ -3=0.

解析：原方程可化为：(2 - 3) + (-5+) + (4-3) = 0，

∴ =+ 。

点评：平面向量的数乘运算类似于代数中实数与未知数的运算法则，求解时兼顾到向量的性质。

题型3：平面向量的坐标及运算

例5．已知中，A(2,－1)，B(3,2)，C(－3,1),BC边上的高为AD，求。

解析：设D(x,y)，则

∵

得

所以。

例6．已知点,试用向量方法求直线和(为坐标原点)交点的坐标。

解析：设，则

因为是与的交点，所以在直线上，也在直线上。

即得，由点得，。

得方程组，解之得。

故直线与的交点的坐标为。

题型4：平面向量的性质

例7．平面内给定三个向量，回答下列问题：

(1)求满足的实数m,n；

(2)若，求实数k；

(3)若满足，且，求。

解析：(1)由题意得，所以，得。

(2)，

；

(3)

由题意得，得或。

例8．已知

(1)求；

(2)当为何实数时，与平行， 平行时它们是同向还是反向？

解析：(1)因为

所以

则

(2)，

因为与平行，所以即得。

此时，，则，即此时向量与方向相反。

点评：上面两个例子重点解析了平面向量的性质在坐标运算中的体现，重点掌握平面向量的共线的判定以及平面向量模的计算方法。

题型5：共线向量定理及平面向量基本定理

例9．(2009北京卷文)已知向量，如果

那么　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 　 )

　A．且与同向　　　　　　　　 B．且与反向

　C．且与同向　　　　　　　 D．且与反向

答案　 D

解析　 本题主要考查向量的共线(平行)、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算考查.

∵a，b，若，则cab，dab，

　 显然，a与b不平行，排除A、B.

　 若，则cab，dab，

即cd且c与d反向，排除C，故选D.

点评：熟练运用向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则进行运算；两个向量平行的坐标表示；运用向量的坐标表示，使向量的运算完全代数化，将数与形有机的结合。

例10．(1)(06福建理，11)已知︱︱=1，︱︱=,=0,点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n(m、n∈R)，则等于(　 )

A．　　　　　　　 B．3　　　　　　 C．　　　　 D．

(2)(2009安徽卷理)给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.

如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.

若其中,则

的最大值是________.

答案　 2

解析　 设

，即

∴

题型6：平面向量综合问题

例11．(2009上海卷文)　　 已知ΔABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量，

　， .

(1)　　　 若//，求证：ΔABC为等腰三角形；　　

(2)　　　 若⊥，边长c = 2，角C = ，求ΔABC的面积 .

证明：(1)

即，其中R是三角形ABC外接圆半径，　 为等腰三角形

解(2)由题意可知

由余弦定理可知，