22.(文)(本小题满分14分)已知函数yf(x)的图象经过坐标原点,且f(x)=x2x+b,数列{an}的前n项和Snf(n)(n∈N*).

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若数列{bn}满足an+log3n=log3bn,求数列{bn}的前n项和Tn

(3)设Pna1+a4+a7+…+a3n2Qna10+a12+a14+…+a2n+8,其中n∈N*,试比较PnQn的大小,并证明你的结论.

解:(1)因为yf(x)的图象过原点,所以f(x)=x2x.

所以Snn2n

n≥2时,anSnSn1n2n-(n-1)2+(n-1)=2n-2,

又因为a1S1=0适合an=2n-2,

所以数列{an}的通项公式为an=2n-2(n∈N*).

(2)由an+log3n=log3bn得:bnn·3ann·32n2(n∈N*),

所以Tnb1+b2+b3+…+bn=30+2·32+3·34+…+n·32n2,9Tn=32+2·34+3·36+…+n·32n.

两式相减得:8Tnn·32n-(1+32+34+36+…+32n2)=n·32n-,

所以Tn=-=.

(3)a1a4a7,…,a3n2组成以0为首项,6为公差的等差数列,所以Pn=×6=3n2-3n

a10a12a14,…,a2n+8组成以18为首项,4为公差的等差数列,所以Qn=18n+×4=2n2+16n.

PnQn=3n2-3n-2n2-16nn2-19nn(n-19),

所以,对于正整数n,当n≥20时,Pn>Qn

n=19时,PnQn

n<19时,Pn<Qn.

(理)(本小题满分14分)已知数列{an}的前n项和为Sn,点(an+2,Sn+1)在直线y=4x-5上,其中n∈N*.令bnan+1-2an,且a1=1.

(1)求数列{bn}的通项公式;

(2)若f(x)=b1x+b2x2+b3x3+…+bnxn,求f′(1)的表达式,并比较f′(1)与8n2-4n的大小.

解:(1)∵Sn+1=4(an+2)-5,∴Sn+1=4an+3,

Sn=4an1+3(n≥2),

an+1=4an-4an1(n≥2),

an+1-2an=2(an-2an1)(n≥2),

∴==2(n≥2).

∴数列{bn}为等比数列,其公比为q=2,首项b1a2-2a1

a1+a2=4a1+3,且a1=1,∴a2=6,

b1=6-2=4,

bn=4×2n1=2n+1.

(2)∵f(x)=b1x+b2x2+b3x3+…+bnxn

f′(x)=b1+2b2x+3b3x2+…+nbnxn1

f′(1)=b1+2b2+3b3+…+nbn

f′(1)=22+2·23+3·24+…+n·2n+1,                   ①

∴2f′(1)=23+2·24+3·25+…+n·2n+2,                   ②

①-②得

f′(1)=22+23+24+…+2n+1n·2n+2

=-n·2n+2=-4(1-2n)-n·2n+2

f′(1)=4+(n-1)·2n+2

f′(1)-(8n2-4n)=4(n-1)·2n-4(2n2n-1)

=4(n-1)[2n-(2n+1)].

n=1时,f′(1)=8n2-4n

n=2时,f′(1)-(8n2-4n)=4(4-5)=-4<0,f′(1)<8n2-4n

n=3时,f′(1)-(8n2-4n)>0,

结合指数函数y=2x与一次函数y=2x+1的图象知,当x>3时,总有2x>2x+1,

故当n≥3时,总有f′(1)>8n2-4n.

综上:当n=1时,f′(1)=8n2-4n

n=2时,f′(1)<8n2-4n

n≥3时,f′(1)>8n2-4n.

 0  384516  384524  384530  384534  384540  384542  384546  384552  384554  384560  384566  384570  384572  384576  384582  384584  384590  384594  384596  384600  384602  384606  384608  384610  384611  384612  384614  384615  384616  384618  384620  384624  384626  384630  384632  384636  384642  384644  384650  384654  384656  384660  384666  384672  384674  384680  384684  384686  384692  384696  384702  384710  447090 

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