2．数列{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a6＝b7，则有 ( )
A．a3+a9≤b4+b10
B．a3+a9≥b4+b10
C．a3+a9≠b4+b10
D．a3+a9与b4+b10的大小不确定
解析：∵a3+a9≥2＝2＝2a6＝2b7＝b4+b10，当且仅当a3＝a9时，不等式取等号．
答案：B
1.已知a，b，c成等比数列，a，m，b和b，n，c分别成两个等差数列，则+等于 ( )
A．4 B．3 C．2 D．1
解析：由题意得b2＝ac,2m＝a+b,2n＝b+c，则+＝＝＝＝2.
答案：C
12．(文)(2009·湖北高考改编)已知数列{an}的前n项和Sn＝－an－()n－1+2(n∈N*)．
(1)令bn＝2nan，求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；
(2)令cn＝an，求Tn＝c1+c2+…+cn的值．
解：(1)在Sn＝－an－()n－1+2中，
令n＝1，可得S1＝－a1－1+2＝a1，即a1＝.
当n≥2时，Sn－1＝－an－1－()n－2+2，
∴an＝Sn－Sn－1＝－an+an－1+()n－1，
∴2an＝an－1+()n－1，即2nan＝2n－1an－1+1.
∵bn＝2nan，∴bn＝bn－1+1，
即当n≥2时，bn－bn－1＝1.
又b1＝2a1＝1，
∴数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列．
于是bn＝1+(n－1)·1＝n＝2nan，
∴an＝.
(2)由(1)得cn＝an＝(n+1)()n，所以
Tn＝2×+3×()2+4×()3+…+(n+1)·()n， ①
Tn＝2×()2+3×()3+…+n·()n+(n+1)·()n+1， ②
由①－②得Tn＝1+()2+()3+…+()n－(n+1)·()n+1
＝1+－(n+1)()n+1
＝－.
∴Tn＝3－.
(理)已知数列{an}是首项为a1＝，公比q＝的等比数列，设bn+2＝3logan(n∈N*)，数列{cn}满足cn＝an·bn.
(1)求证：{bn}是等差数列；
(2)求数列{cn}的前n项和Sn；
(3)若cn≤m2+m－1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)证明：由题意知，an＝()n(n∈N*)．
∵bn＝3logan－2，b1＝3loga1－2＝1，
∴bn+1－bn＝3logan+1－3logan＝3log＝3logq＝3，
∴数列{bn}是首项为b1＝1，公差为d＝3的等差数列．
(2)由(1)知，an＝()n，bn＝3n－2(n∈N*)，
∴cn＝(3n－2)×()n，(n∈N*)，
∴Sn＝1×+4×()2+7×()3+…+(3n－5)×()n－1+(3n－2)×()n，
于是Sn＝1×()2+4×()3+7×()4+…+(3n－5)×()n+(3n－2)×()n+1，
两式相减得
Sn＝+3[()2+()3+…+()n]－(3n－2)×()n+1＝－(3n+2)×()n+1，
∴Sn＝－·()n(n∈N*)．
(3)∵cn+1－cn＝(3n+1)·()n+1－(3n－2)·()n
＝9(1－n)·()n+1，(n∈N*)．
∴当n＝1时，c2＝c1＝，
当n≥2时，cn+1＜cn，即c1＝c2>c3>c4>…>cn，
∴cn取得的最大值是.
又cn≤m2+m－1对一切正整数n恒成立，
∴m2+m－1≥，即m2+4m－5≥0，
得m≥1或m≤－5.
11．对于数列{an}，定义数列{an+1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项为2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________.
解析：∵an+1－an＝2n，
∴an＝(an－an－1)+(an－1－an－2)+…+(a2－a1)+a1
＝2n－1+2n－2+…+22+2+2
＝+2＝2n－2+2＝2n.
∴Sn＝＝2n+1－2.
答案：2n+1－2
10．已知数列{an}的通项公式为an＝log2(n∈N*)，设其前n项和为Sn，则使Sn<－5成立的自然数n ( )
A．有最大值63 B．有最小值63
C．有最大值32 D．有最小值32
解析：法一：依题意有an＝log2＝log2(n+1)－log2(n+2)，所以Sn＝log22－log23+log23－log24+…+log2(n+1)－log2(n+2)＝log22－log2(n+2)＝1－log2(n+2)，令1－log2(n+2)<－5，解得n>62，故使Sn<－5成立的自然数n有最小值63.
法二：Sn＝log2+log2+…+log2
＝log2(××…×)＝log2，
所以由Sn<－5，得log2<－5，解得n>62，
故使Sn<－5成立的自然数n有最小值63.
9.(2010·长郡模拟)数列{an}，已知对任意正整数n，a1+a2+a3+…+an＝2n－1，则a+a+a+…+a等于 ( )
A．(2n－1)2 B.(2n－1) C.(4n－1) D．4n－1
解析：∵a1+a2+a3+…+an＝2n－1，
∴a1+a2+a3+…+an－1＝2n－1－1，
∴an＝2n－2n－1＝2n－1，∴a＝4n－1，
∴a+a+a+…+a＝＝(4n－1)．
8．(2010·昌平模拟)设数列{an}满足a1+3a2+32a3+…+3n－1an＝，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.
解：(1)∵a1+3a2+32a3+…+3n－1an＝， ①
∴当n≥2时，a1+3a2+32a3+…+3n－2an－1＝. ②
①－②得3n－1an＝，an＝.
在①中，令n＝1，得a1＝，适合an＝，
(2)∵bn＝，∴bn＝n3n.
∴Sn＝3+2×32+3×33+…+n3n， ③
∴3Sn＝32+2×33+3×34+…+n3n+1.④
④－③得2Sn＝n3n+1－(3+32+33+…+3n)，
即2Sn＝n3n+1－，
∴Sn＝+.
7.求和：Sn＝+++…+.
解：当a＝1时，Sn＝1+2+3+…+n＝；
当a≠1时，Sn＝+++…+，
Sn＝+++…++，
两式相减得，(1－)Sn＝+++…+－＝－，
即Sn＝，
∴Sn＝
6．在数列{an}中，an＝++…+，又bn＝，求数列{bn}的前n项的和．
解：由已知得：an＝(1+2+3+…+n)＝，
bn＝＝8(－)，
∴数列{bn}的前n项和为
Sn＝8[(1－)+(－)+(－)+…+(－)]
＝8(1－)＝.
5．数列an＝，其前n项之和为，则在平面直角坐标系中，直线(n+1)x+y+n＝0在y轴上的截距为 ( )
A．－10 B．－9 C．10 D．9
解析：数列的前n项和为
++…+＝1－＝＝，
所以n＝9，
于是直线(n+1)x+y+n＝0即为10x+y+9＝0，
所以在y轴上的截距为－9.
an－2，b1＝3log