3．设f (x)=x²-4x (x∈R)，则f (x)>0的一个必要而不充分条件是 (　 )

A、x<0　　　　　　 B、x<0或x>4

C、│x-1│>1　　 　D、│x-2│>3

[填空题]

2.(2004重庆)一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是　　　　　　　 (　 )

(A)　　 (B)　　 (C)　　 (D)

1． 至少有一个负的实根的充要条件是(　 )

A　 B　 C　　 D 或

2．题型.思想.方法:

(1)二次函数在闭区间上，必有最大值和最小值，当含有参数时，须对参数分区间讨论。

(2)二次方程根的分布问题，可用韦达定理或借助二次函数图象列不等式组求解。

(3)三个二次问题(二次函数、二次方程、二次不等式)是中学数学中基础问题，以函数为核心，三者密切相连。

例题简答

同步练习　 1．4 二次函数 方程 不等式

[选择题]

1.二次函数f(x)=ax²+bx+c(a≠0)的图象性质是处理二次函数问题的重要依据。

[例1]已知方程

(1)都小于零；　　 (2)都小于1；

(3)；　　　　　 (4)

(5)恰有一根在(1，2)区间内。

分别求k的取值范围。

解法1：利用韦达定理

(1) 由；

(2) 由

特别提示：不能由来求解。

　 …………

解法2：利用二次函数的图象

　　　 　…………

(3)

(4)

(5)

[例2]设f(x)=x²－2ax+2.当x∈［－1，+∞)时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围

解：(1)当对称轴x=a≤－1时，f(x)_min=f(－1)=3+2a.

x∈［－1，+∞)，f(x)≥a恒成立

f(x)_min=3+2a≥aa≥－3.故此时－3≤a≤－1.

当a＞－1时，f(x)_min=f(a)=a²－2a²+2=2－a²，

x∈［－1，+∞)，f(x)≥a恒成立f(x)_min=2－a²≥a－2≤a≤1.故此时－1＜a≤1.

由(1)(2)知，当－3≤a≤1时，x∈［－1，+∞)，f(x)≥a恒成立.

[例3](2005全国卷Ⅰ)已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为。(Ⅰ)若方程有两个相等的根，求的解析式；

(Ⅱ)若的最大值为正数，求的取值范围。

解：(Ⅰ)的解集为(1,3),

∴①

由方程　　 ②

∵方程②有两个相等的根，∴，

即　

代入①得的解析式

　 (Ⅱ)由

及由

　解得：

故当的最大值为正数时，实数a的取值范围是

法2：由Δ>0求解。

[例4](2006浙江)设f(x)=3ax²+2bx+c,若a+b+c=0, ,f(0)＞0，f(1)＞0，求证：

　(Ⅰ)a＞0且-2＜＜-1；(Ⅱ)方程f(x)=0在(0，1)内有两个实根.

证明：(I)因为f(0)>0,f(1)>0，所以c>0,3a+2b+c>0

由条件，消去，得；

由条件，消去，得，.

故.

(II)抛物线的顶点坐标为，

在的两边乘以，得.

又因为

而

所以方程在区间与内分别有一实根

故方程在内有两个实根.

[研究.欣赏]已知二次函数的图像经过(－1，0)，是否存在常数使得不等式对一切实数都成立？若存在，求出；若不存在，说明理由

解：的图像经过点(－1，0)，

　又 ，令

得，即

由上式得:

即的解为

(1)当

(2)当不等式组的解为;

当时，由

因此存在常数，其中

4.设u=x²-1,化原式为：，结合函数的图象，看使u≥-1的解的个数

3．对称轴为x=2;

2.顶点为(a+b，c²－a²－b²),由已知c²－a²－b²=0.∴Rt△

1.对称轴 ≤－2m≤－16，∴f(1)=9－m≥25.