由= +得M的坐标为(x,y), 由x₀,y₀满足C的方程,得点M的轨迹方程为:

+ =1 (x>1,y>2)　

(Ⅱ)| |²= x²+y²,　 y²= =4+ ,

∴| |²= x²－1++5≥4+5=9　 且当x²－1= ,即x=>1时,上式取等号　

故||的最小值为3

[研讨欣赏](2006湖北) 设x=3是函数f(x)=(x²+ax+b)e^3-x(x∈R)的一个极值点．

(1)求a与b的关系式(用a表示b)，并求f(x)的单调区间；

(2)设>0，=()．若存在使得||<1成立，求的取值范围．

解：(1)　　　　　　　　　　　　　　

由f′(3)=0得

所以

令f′(x)=0得

由于x=3是f(x)的极值点，故x₁≠x₂，即a≠-4

当时，，故f(x)在上为减函数，在上为减函数，在上为增函数

当a>4时，x₁>x₂，故f (x)在(－∞,－a－1]上为减函数，在[－a－1,3]上为增函数，在[3,+∞)上为减函数．

(2)当a>0时，－a－1<0，故f(x)在[0,3]上为增函数，在[3,4]上为减函数，在[3,+∞)上为减函数

因此f(x)在[0,4]上的值域为

而在[0,4]上为增函数，所以值域为

注意到，

故由假设知解得

故的取值范围是

考查知识：函数、不等式和导数的应用知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．

[例1]证明：当x>0时，有

证明：设f(x)=x-sinx,于是f(0)=0．

∵f^/(x)=1-cosx(仅在x=2kπ(k∈Z)处f^/(x)=0

∴当x>0时，f(x)单调递增，从而有f(x)>f(0)

即x-sinx>0, x>sinx(x>0)

为证不等式，设

g(x)=sinx-x+,则g(0)=0,

于是g^/(x)>0,∴g(x)在x>0时递增，从而有g(x)>g(0)=0

即

故当x>0时有

提炼方法：证不等式的依据I：

(1) 若函数f(x)在x>a可导，且递增，则f(x)>f(a);

(2) 若函数f(x)在x>a可导，且递减，则f(x)《f(a);

关键在于构造恰当的函数，一般是左-右，右-左，左÷右等。

[例2]已知

求证：函数f(x)图像上的点不可能在函数g(x)图像的上方。

证明：设F(x)=(2-x)e^x-1,(x<2)

∵F^/(x)=(1-x)e^x-1,

当x<1时，F^/(x)>0,当1<x<2时，F^/(x)<0．

∴x=1时，F(x)有极大值，也就是最大值。

∴F(x)≤F(1)=1,又x<2,

∴

∴函数f(x)图像上的点不可能在函数g(x)图像的上方。

提炼方法：证不等式的依据II：

(1)若函数f(x)在某一范围内有最小值m,则f(x)≥m．

(2)若函数f(x)在某一范围内有最大值M，则f(x)≤m．

[例3](2006全国Ⅰ)已知函数　

(Ⅰ)设a>0，讨论y=f(x)的单调性；

(Ⅱ)若对任意x∈(0,1)恒有f(x)>1，求a的取值范围

解(Ⅰ)f(x)的定义域为(－∞,1)∪(1,+∞)。 对f(x)求导数得 f '(x)= e^－ax　 　

(ⅰ)当a=2时, f '(x)= e^－2x, f '(x)在(－∞,0), (0,1)和(1,+ ∞)均大于0, 所以f(x)在(－∞,1), (1,+∞) 为增函数；

(ⅱ)当0<a<2时, f '(x)>0, f(x)在(－∞,1), (1,+∞)为增函数；　

(ⅲ)当a>2时, 0<<1, 令f '(x)=0 ,解得x₁= － , x₂= 　

当x变化时, f '(x)和f(x)的变化情况如下表：

x	(-∞, -)	(-,)	(,1)	(1,+∞)
f '(x)	+	－	+	+
f(x)	↗	↘	↗	↗

f(x)在(－∞, －), (,1), (1,+∞)为增函数, f(x)在(－,)为减函数。

(Ⅱ)(ⅰ)当0<a≤2时, 由(Ⅰ)知: 对任意x∈(0,1)恒有f(x)>f(0)=1

(ⅱ)当a>2时, 取x₀= ∈(0,1),则由(Ⅰ)知 f(x₀)<f(0)=1

(ⅲ)当a≤0时, 对任意x∈(0,1),恒有 >1且e^－ax≥1,得

f(x)= e^－ax≥ >1　 综上当且仅当a∈(－∞,2]时,对任意x∈(0,1)恒有f(x)>1 。

特别提示：对于求单调区间、极值、最值问题，根据导数的零点把定义区间分开，列出表格，再分析各区间导数的符号，进而确定单调区间、极值最值，清楚直观不易出错。

[例4] 　(2006全国Ⅰ) 在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与轴的交点分别为A、B，且向量　 求：

(Ⅰ)点M的轨迹方程；

(Ⅱ)的最小值。

解: 椭圆方程可写为: + =1　 式中a>b>0 , 且　 得a²=4,b²=1,所以曲线C的方程为:　 x²+ =1 (x>0,y>0)　 y=2(0<x<1) y '=－

设P(x₀,y₀),因P在C上,有0<x₀<1, y₀=2, y '|_x=x0= － ,得切线AB的方程为:

6．设f(x)=x³－3x+c，则(x)=3x²－3=3(x²－1)．

当x∈(0，1)时，(x)<0恒成立．

∴f(x)在(0，1)上单调递减．

∴f(x)的图象与x轴最多有一个交点．

因此方程x³－3x+c=0在［0，1)上至多有一实根．

5． y′=－4x²+b，若y′值有正、有负，则b>0．答案：b>0

6．方程x³－3x+c=0在［0，1］上至多有_______个实数根．

简答:1－4．DBDC；

5．若函数y=－x³+bx有三个单调区间，则b的取值范围是________．

4．(2006江西)对于上可导的任意函数f(x),若满足(x－1)f′(x)≥0,则必有(　 )

A．f(0)+ f(2)<2 f(1) 　　　　 B． f(0)+ f(2)≤2 f(1)

C． f(0)+ f(2)≥2 f(1)　 D． f(0)+ f(2)>2 f(1)

3．(2006湖北)若的大小关系　　　　　 (　 )

A．　 B．　 C．　 D．与x的取值有关

2．函数f(x)=sin(3x－)在点(,)处的切线方程是　 (　 )

A．3x+2y+－=0,　 B．3x－2y+－=0

C．3x－2y－－=0,　 D．3x+2y－－=0

1．已知a>0，函数f(x)=x³－ax在［1，+∞)上是单调增函数，则a的最大值是

A．0　　　　　　 B．1 　　　　　　C．2　　　 　　　D．3