137. 如图，M、N、P分别是正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的三个侧面ABCD、CC₁D₁D、BCC₁B₁的中心，则A₁M与NP所成的角是(　　 )

解析：D如图所示　

136. 如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面

成60°的二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值

是　　　　　　　 ．

解析：

135. 已知如图，P平面ABC，PA=PB=PC，∠APB=∠APC=60°，∠BPC=90 °求证：平面ABC⊥平面PBC

解析：要证明面面垂直，只要在其呈平面内找一条线，然后证明直线与另一平面垂直即可。显然BC中点D，证明AD垂直平PBC即可

证明： 取BC中点D　 连结AD、PD

　　　　 ∵PA=PB；∠APB=60°

　　　　 ∴ΔPAB为正三角形　　　　　　

　　　　 同理ΔPAC为正三角形

　　　　 设PA=a

　　　　 在RTΔBPC中，PB=PC=a

　　　　 BC=a

　　　　 ∴PD=a

　 在ΔABC中

　 AD=

　　 =a

∵AD²+PD²=

　　　　 =a²=AP²

∴ΔAPD为直角三角形

即AD⊥DP

又∵AD⊥BC

∴AD⊥平面PBC

∴平面ABC⊥平面PBC

134. 设S为平面外的一点，SA=SB=SC，，若，求证：平面ASC平面ABC。

解析：(1)把角的关系转化为边的关系

(2)利用棱锥的性质(三棱锥的侧棱相等，则顶点在底面上的射影为底面三角形的外心)

证明：设D为AB的中点

同理

且

即为且S在平面上的射影O为的外心

　则O在斜边AC的中点。

平面ABC

平面SAC

平面ASC平面ABC

133. 已知：平面α∩平面β=直线a．

α，β同垂直于平面γ，又同平行于直线b．

求证：(Ⅰ)a⊥γ；

(Ⅱ)b⊥γ．

证明：

证法一(Ⅰ)设α∩γ=AB，β∩γ=AC．在γ内任取一点P并于γ内作直线PM⊥AB，PN⊥AC．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 --1分

∵ γ⊥α，

∴ PM⊥α．

而　 aα，

∴ PM⊥a．

同理PN⊥a．　　　　　　 --4分

又　 PMγ，PNγ，

∴ a⊥γ．　　　　　　　 --6分

(Ⅱ)于a上任取点Q，过b与Q作一平面交α于直线a₁，交β于直线a₂．　　 --7分

∵ b∥α，∴ b∥a₁．

同理b∥a₂．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 --8分

∵ a₁，a₂同过Q且平行于b，

∵ a₁，a₂重合．

又　 a₁α，a₂β，

∴ a₁，a₂都是α、β的交线，即都重合于a．　　　　　　　　　　　　　 --10分

∵ b∥a₁，∴ b∥a．

而a⊥γ，

∴ b⊥γ．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　--12分

注：在第Ⅱ部分未证明b∥a而直接断定b⊥γ的，该部分不给分．

证法二(Ⅰ)在a上任取一点P，过P作直线a′⊥γ．　　　　　　　　　　 --1分

∵ α⊥γ，P∈α，

∴ a′α．

同理a′β．　　　　　　　　　　　 --3分

可见a′是α，β的交线．

因而a′重合于a．　　　　　　　　　 --5分

又　 a′⊥γ，

∴ a⊥γ．　　　　　　　　　　　　　 --6分

(Ⅱ)于α内任取不在a上的一点，过b和该点作平面与α交于直线c．同法过b作平面与β交于直线d．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 --7分

∵ b∥α，b∥β．

∴ b∥c，b∥d．　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　--8分

又　 cβ，dβ，可见c与d不重合．因而c∥d．

于是c∥β．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 --9分

∵ c∥β，cα，α∩β=a，

∴ c∥a．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 --10分

∵ b∥c，a∥c，b与a不重合(bα，aα)，

∴ b∥a．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 --11分

而 a⊥γ，

∴ b⊥γ．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 --12分

注：在第Ⅱ部分未证明b∥a而直接断定b⊥γ的，该部分不给分．

3、作斜线在平面内的射影, 只要在斜线上找一点作直线 垂直于平面, 即找此点在平面内的射影, 显然找V点, V点在平面内的射影在何处？由条件可知, 射影为△ABC的外心。

解: 作VO^平面ABC于O, 则OB为VB在平面ABC内的射影,

　　　　 ∴ÐVBO为VB与平面ABC所成的角。

　　　　 连OA、OB、OC, 则OA、OB、OC分别为斜线段VA、VB、VC在平面ABC内的射影。

　　　　 ∵VA = VB = VC

　　　　 ∴OA = OB = OC

　　　　 ∴O为△ABC为外心

　　　　 ∵△ABC为直角三角形, 且AC为斜边

　　　　 ∴O为AC的中点

　　　　 设VA = a, 则VA = VC = AC = a,　　　

　　　　 在Rt△VOB中,

　　　　 ∴ÐVBO = 60°

　　　　 ∴VB与平面ABC所成的角为60°。

2、要作出VB与平面ABC所成的角, 只要找出VB在平 面ABC内的射影就可以了。

132. 如图: △ABC的ÐABC= 90°, V是平面ABC外的一点, VA = VB = VC = AC, 求VB与平面ABC所成的角。

解析：1、要求VB与平面ABC所成的角, 应作出它们所成的角。

131. 如图在二面角α- l-β中，A、B∈α，C、D∈l，ABCD为矩形，P∈β，PA⊥α，且PA=AD，MN依次是AB、PC的中点

⑴ 求二面角α- l-β的大小

⑵ 求证明：MN⊥AB

⑶ 求异面直线PA与MN所成角的大小

解析：⑴ 用垂线法作二面角的平面角

⑵ 只要证明AB垂直于过MN的一个平面即可

⑶ 过点A作MN的平行线，转化为平面角求解

解：

⑴ 连PD

　　 ∵PA⊥α，AD⊥l

　　 ∴PD⊥l

　　 ∴∠PDA为二面角α- l-β的平面角

　　 在RTΔPAD中

　　 ∵PA=PD

　　 ∴∠PDA=45°

　　 ∴二面角α- l-β为45°

⑵ 设E是DC的中点，连ME、NE

∵M、N、E分别为AB、PC、D的中点

∴ME∥AD，NE∥PD

∴ME⊥l，NE⊥l

∴l⊥平面MEN

∵AB∥l

∴AB⊥平面MEN

∵MNÌ平面MNE

∴MN^AB

⑶ 设Q是DP听中点，连NQ、AQ

　 则NQ∥DC，且NQ=1/2DC

　 ∵AM∥DC，且AM=1/2AB=1/2DC

　 ∴QN∥AM，QN=AM

　 ∴QNMQ为平行四边形

　 ∴AQ∥MN

　 ∴∠PAQ为PA与MN所成的角

　 ∵ΔPAQ为等腰直角三角形，AQ为斜边上的中线

　 ∴∠PAQ=45°

　 即PA与MN所成角的大小为45°

130. 已知等腰DABC中，AC = BC = 2，ACB = 120°，DABC所在平面外的一点P到三角形三顶点的距离都等于4，求直线PC与平面ABC所成的角。

解析：解：设点P在底面上的射影为O，连OB、OC，

　　　　　　　　　　　　　　 则OC是PC在平面ABC内的射影，

　　　　 　　　　　　　　　 ∴PCO是PC与面ABC所成的角。

　　　　　　　　　　　　　　 ∵ PA = PB = PC，

　　　　　　　　　　　　　　 ∴点P在底面的射影是DABC的外心，

　　　　　　　　　　　　　　 注意到DABC为钝角三角形，

　　　　　　　　　　　　　　 ∴点O在DABC的外部，

　　　　　　　　　　　　　　 ∵AC = BC，O是DABC的外心，

　　　　　　　　　　　　　　 ∴OC⊥AB　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　 在DOBC中，OC = OB， OCB = 60°，

　　　　　　　　　　　　　　 ∴DOBC为等边三角形，∴OC = 2 　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　 在RtDPOC中，

　　　　　　　　　　　　　　 ∴PCO = 60° 。