4. (宁波市2008学年度第一学期高三期末数(文))(本小题满分14分) 在棱长为的正方体中，为棱的中点.

　(Ⅰ)求证：平面;　 (Ⅱ)求与平面所成角的余弦值.

解：(Ⅰ)(略证)：只需证即可。　　 　……6分

　 (Ⅱ)连接，由正方体的几何性质可得即为在底面上的射影，则即为与平面所成角.　　　 …… 10分

在中，，

则

所以与平面所成角的余弦值为.　 …… 14分

3．(宁波市2008学年度第一学期高三期末数(理))(本题15分)已知几何体A-BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．

　 (1)求异面直线DE与AB所成角的余弦值；

　 (2)求二面角A-ED-B的正弦值；

(3)求此几何体的体积V的大小.

证明：(1)取EC的中点是F，连结BF，

则BF//DE，∴∠FBA或其补角即为异面直线DE与AB所成的角．

∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．………5分

　 解：(2)AC⊥平面BCE，过C作CG⊥DE交DE于G，连AG．

可得DE⊥平面ACG，从而AG⊥DE

∴∠AGC为二面角A-ED-B的平面角．

在△ACG中，∠ACG=90°，AC=4，CG=

∴．∴．

∴二面角A-ED-B的的正弦值为．…………………………10分

(3)

∴几何体的体积V为16．………………………………………15分

方法二：(坐标法)(1)以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系．

则A(4，0，0)，B(0，4，0)，D(0，4，2)，E(0，0，4)

，∴

∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．………5分

(2)平面BDE的一个法向量为，

设平面ADE的一个法向量为， ∴

从而,

令，则,

∴二面角A-ED-B的的正弦值为．…………………………10分

(3)，∴几何体的体积V为16．……………15分

2．(2008学年第一学期十校高三期末联考数学试题(文))(14分)已知一四棱锥P－ABCD的三视图如下，E是侧棱PC上的动点。

(Ⅰ)求四棱锥P－ABCD的体积；

(Ⅱ)是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论;

　　　　　　　　　　　　　　　　　 (第2题图)

解：(Ⅰ)由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，

侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2. ---------------------------------3分

∴----------------------------7分

(Ⅱ)不论点E在何位置，都有BD⊥AE---------------------------------------8分

证明如下：连结AC，∵ABCD是正方形　　　　 ∴BD⊥AC

∵PC⊥底面ABCD 且平面　∴BD⊥PC-----------11分

又∵∴BD⊥平面PAC　

∵不论点E在何位置，都有AE平面PAC　

∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE ----------------------------------------------14分

1.(2008学年第一学期十校高三期末联考数学试题(理)) (本小题满分15分)已知四棱锥P－ABCD，底面是边长为1的正方形，侧棱PC长

　　 为2，且PC⊥底面ABCD，E是侧棱PC上的动点。

　 (Ⅰ)不论点E在何位置，是否都有BD⊥AE？证明你的结论；

　 (Ⅱ)求点C到平面PDB的距离；

　 (Ⅲ)若点E为PC的中点，求二面角D－AE－B的大小．　　 (第1题)

证明：(Ⅰ) 不论点E在何位置，都有BD⊥AE　　　　　　　　　　　 …………1分

连结AC，由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P－ABCD的底面ABCD是正方形

∴BD⊥AC ∵PC⊥底面ABCD 且平面　∴BD⊥PC ………3分

又∵∴BD⊥平面PAC　

∵不论点E在何位置，都有AE平面PAC　

∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE　　　　　　　　　　 ………………5分

解：(Ⅱ)由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，

侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2.　　　　　　　　　　　 ………………7分

设点C到平面PDB的距离为d，

，　　

　,　 ,　

---------------------------10分

(Ⅲ) 解法1：在平面DAE内过点D作DG⊥AE于G，连结BG

∵CD=CB,EC=EC, ∴≌

∴ED=EB, ∵AD=AB　 ∴△EDA≌△EBA

∴BG⊥EA ∴为二面角D－EA－B的平面角 ……………… 12分

∵BC⊥DE,　 AD∥BC　 ∴AD⊥DE

在Rt△ADE中，==BG

在△DGB中，由余弦定理得

∴=　　　　　　　　　　　　　　　　 ………………15分

解法2：以点C为坐标原点，CD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图示：

则,从而………………　 11分

设平面ADE和平面ABE的法向量分别为

由法向量的性质可得：，

∴　　　　　　　　　　　　 ………13分

设二面角D－AE－B的平面角为，则

∴ 　　　　　　　　　　　　　　…………………………………　 15分

9．[解]　 (I)取PB的中点F，联结MF、CF，

∵M、F分别为PA、PB的中点．

∴MF∥AB，且MF=AB．

∵四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD且AB=2CD，

∴MF∥CD且MF=CD．

∴四边形CDFM是平行四边形．

∴DM∥CF．

∵CF平面PCB，

∴DM∥平面PCB．　　　　　　　　　　　　　　 4分

(Ⅱ)取AD的中点G，连结PG、GB、BD．　　　　　　　　　　　　

∵PA=PD，　　　　 ∴PG⊥AD．

∵AB=AD，且∠DAB=60°，

∴△ABD是正三角形，BG⊥AD．

∴AD⊥平面PGB．

∴AD⊥PB．　　　　　　　 8分

(Ⅲ)V_P-MBD=V_B-PMD　　　 10分

V_B-PMD =××××=　　 14分

8．(本小题满分14分)

解：(I)直观图如右图：　　　　 7分　　　　　　　　　　　　　　　　　

(Ⅱ)设这个正四棱锥的底面边长是a，

高为h，

则a=2，h=　　　　　　　　　 11分

∴体积V=sh　　　　　　　　　　 12分

=×2²×=　　　 14分

9(浙江省嘉兴市高中学科基础测试(理科) 数学试题卷2009.1)

　(本小题满分14分)

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，

M为AP的中点．

　 (Ⅰ)求证：DM∥平面PCB；　　　　　　　　

　 (Ⅱ)求直线AD与PB所成角；

　 (Ⅲ)求三棱锥P-MBD的体积．

7．(本题15分)证明：(1)取EC的中点是F，连结BF，

则BF//DE，∴∠FBA或其补角即为异面直线DE与AB所成的角．

在△BAF中，AB=，BF=AF=．∴．

∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．………5分

　 (2)AC⊥平面BCE，过C作CG⊥DE交DE于G，连AG．

可得DE⊥平面ACG，从而AG⊥DE

∴∠AGC为二面角A-ED-B的平面角．

在△ACG中，∠ACG=90°，AC=4，CG=

∴．∴．

∴二面角A-ED-B的的正弦值为．…………………………10分

(3)

∴几何体的体积V为16．………………………………………15分

方法二：(坐标法)(1)以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系．

则A(4，0，0)，B(0，4，0)，D(0，4，2)，E(0，0，4)

，∴

∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．………5分

(2)平面BDE的一个法向量为，

设平面ADE的一个法向量为， ∴

从而,

令，则,

∴二面角A-ED-B的的正弦值为．…………………………10分

(3)，∴几何体的体积V为16．……………15分

8(浙江省嘉兴市高中学科基础测试(文科)数学试题卷2009.1)

如图是一个空间几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图是一个正方形．

(Ⅰ)在给定的空间直角坐标系中作出这个几何体的直观图(不用写作法)；

(Ⅱ)求这个几何体的体积．

7.(宁波市2008学年度第一学期期末试卷高三数学(理科))

(本题15分)已知几何体A-BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．

　 (1)求异面直线DE与AB所成角的余弦值；

　 (2)求二面角A-ED-B的正弦值；

(3)求此几何体的体积V的大小.

6. (Ⅰ)(略证)：只需证即可。　　　 ……6分

　 　(Ⅱ)连接，由正方体的几何性质可得即为在底面上的射影，则即为与平面所成角.　　　 …… 10分

在中，，

则

所以与平面所成角的余弦值为.　 …… 14分

5. 解(1)以D为坐标原点，分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设PD=DC=2，则A(2，0，0)，P(0，0，2)，E(0，1，1)，…………2分

B(2，2，0)　　

设 是平面BDE的一个法向量，

则由　 　　　 ………………4分

∵　　 …………5分

(2)由(Ⅰ)知是平面BDE的一个法向量，又是平面DEC的一个法向量.　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　………………7分

设二面角B-DE-C的平面角为，由图可知

∴

故二面角B-DE-C的余弦值为　　　　　　　　　　　 ………………10分

(3)∵

∴

假设棱PB上存在点F，使PB⊥平面DEF，设，

则，

由　　　　　　 ………………13分

∴　　　　　　　　　　　 ………………14分

即在棱PB上存在点F，PB，使得PB⊥平面DEF　　 　 ………………15分

用几何法证明酌情给分

6(宁波市2008学年度第一学期期末试卷高三数学(文科))

　(本小题满分14分) 在棱长为的正方体中，为棱的中点.

　(Ⅰ)求证：平面;　 (Ⅱ)求与平面所成角的余弦值.