5．“稳态速度类问题中的平衡 [例10]当物体从高空下落时.空气阻力随速度的增大而增大.因此经过一段距离后将匀速下落.这个速度称为此物体下落的稳态速度.已知球形物体速度不大时所受的空气阻力正比于速——青夏教育精英家教网—

5．“稳态速度”类问题中的平衡

[例10](2003年江苏)当物体从高空下落时，空气阻力随速度的增大而增大，因此经过一段距离后将匀速下落，这个速度称为此物体下落的稳态速度。已知球形物体速度不大时所受的空气阻力正比于速度v，且正比于球半径r，即阻力f=krv，k是比例系数。对于常温下的空气，比例系数k=3.4×10^-4Ns/m²。已知水的密度kg/m³，重力加速度为m/s²。求半径r=0.10mm的球形雨滴在无风情况下的稳态速度。(结果保留两位有效数字)

解析：雨滴下落时受两个力作用：重力，方向向下；空气阻力，方向向上。当雨滴达到稳态速度后，加速度为0，二力平衡，用m表示雨滴质量，有mg-krv=0，，求得，v=1.2m/s。

点评：此题的关键就是雨滴达到“稳态速度”时，处于平衡状态。找到此条件，题目就可以迎刃而解了。

4．整体法与隔离法的应用

[例8] 有一个直角支架AOB，AO水平放置，表面粗糙， OB竖直向下，表面光滑。AO上套有小环P，OB上套有小环Q，两环质量均为m，两环由一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡(如图所示)。现将P环向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO杆对P环的支持力F_N和摩擦力f的变化情况是

A．F_N不变，f变大　　 B．F_N不变，f变小　　 C．F_N变大，f变大　　 D．F_N变大，f变小

解：以两环和细绳整体为对象求F_N，可知竖直方向上始终二力平衡，F_N=2mg不变；以Q环为对象，在重力、细绳拉力F和OB压力N作用下平衡，设细绳和竖直方向的夹角为α，则P环向左移的过程中α将减小，N=mgtanα也将减小。再以整体为对象，水平方向只有OB对Q的压力N和OA 对P环的摩擦力f作用，因此f=N也减小。答案选B。

点评：正确选取研究对象，可以使复杂的问题简单化，整体法是力学中经常用到的一种方法。

[例9]如图1所示，甲、乙两个带电小球的质量均为m，所带电量分别为q和-q，两球间用绝缘细线连接，甲球又用绝缘细线悬挂在天花板上，在两球所在的空间有方向向左的匀强电场，电场强度为E，平衡时细线都被拉紧．

(1)平衡时可能位置是图1中的( )

(2)1、2两根绝缘细线的拉力大小分别为( )

A．，　　 B．，

C．，　　 D．，

解析：(1)若完全用隔离法分析，那么很难通过对甲球的分析来确定上边细绳的位置，好像A、B、C都是可能的，只有D不可能．用整体法分析，把两个小球看作一个整体，此整体受到的外力为竖直向下的重力2mg，水平向左的电场力qE(甲受到的)、水平向右的电场力qE(乙受到的)和上边细绳的拉力；两电场力相互抵消，则绳1的拉力一定与重力(2mg)等大反向，即绳1一定竖直，显然只有A、D可能对．

再用隔离法，分析乙球受力的情况．乙球受到向下的重力mg，水平向右的电场力qE，绳2的拉力F₂，甲对乙的吸引力F_引．要使得乙球平衡，绳2必须倾斜，如图2所示．故应选A．

(2)由上面用整体法的分析，绳1对甲的拉力F₁=2mg．由乙球的受力图可知

因此有应选D

点评：若研究对象由多个物体组成，首先考虑运用整体法，这样受力情况比较简单，在本题中，马上可以判断绳子1是竖直的；但整体法并不能求出系统内物体间的相互作用力，故此时需要使用隔离法，所以整体法和隔离法常常交替使用．

3．平衡问题中的极值分析

[例6]跨过定滑轮的轻绳两端，分别系着物体A和物体B，物体A放在倾角为θ的斜面上(如图l-4－3(甲)所示)，已知物体A的质量为m ，物体A与斜面的动摩擦因数为μ(μ<tanθ)，滑轮的摩擦不计，要使物体A静止在斜面上，求物体B的质量的取值范围。

解析：先选物体B为研究对象，它受到重力m_Bg和拉力T的作用，根据平衡条件有：

T=m_Bg　　　　 ①

再选物体A为研究对象，它受到重力mg、斜面支持力N、轻绳拉力T和斜面的摩擦力作用，假设物体A处于将要上滑的临界状态，则物体A受的静摩擦力最大，且方向沿斜面向下，这时A的受力情况如图(乙)所示，根据平衡条件有：

N-mgcosθ＝0　　　　 ②

T-f_m- mgsinθ＝0　 ③

由摩擦力公式知：f_m=μN　　　　 ④

以上四式联立解得m_B=m(sinθ+μcosθ)

再假设物体A处于将要下滑的临界状态，则物体A受的静摩擦力最大，且方向沿斜面向上，根据平衡条件有：

N-mgcosθ=0　　　 ⑤

T+f_m- mgsinθ=0　 ⑥

由摩擦力公式知：f_m=μN　　　　 ⑦

①⑤⑥⑦四式联立解得m_B=m(sinθ-μcosθ)

综上所述，物体B的质量的取值范围是：m(sinθ-μcosθ)≤m_B≤m(sinθ+μcosθ)

[例7] 用与竖直方向成α=30°斜向右上方，大小为F的推力把一个重量为G的木块压在粗糙竖直墙上保持静止。求墙对木块的正压力大小N和墙对木块的摩擦力大小f。

解：从分析木块受力知，重力为G，竖直向下，推力F与竖直成30°斜向右上方，墙对木块的弹力大小跟F的水平分力平衡，所以N=F/2，墙对木块的摩擦力是静摩擦力，其大小和方向由F的竖直分力和重力大小的关系而决定：

当时，f=0；当时，，方向竖直向下；当时，，方向竖直向上。

点评：静摩擦力是被动力，其大小和方向均随外力的改变而改变，因此，在解决这类问题时，思维要灵活，思考要全面。否则，很容易造成漏解或错解。

2．动态平衡类问题的分析方法

[例4] 重G的光滑小球静止在固定斜面和竖直挡板之间。若挡板逆时针缓慢转到水平位置，在该过程中，斜面和挡板对小球的弹力的大小F₁、F₂各如何变化？　　　　　　　　　　　

解：由于挡板是缓慢转动的，可以认为每个时刻小球都处于静止状态，因此所受合力为零。应用三角形定则，G、F₁、F₂三个矢量应组成封闭三角形，其中G的大小、方向始终保持不变；F₁的方向不变；F₂的起点在G的终点处，而终点必须在F₁所在的直线上，由作图可知，挡板逆时针转动90°过程，F₂矢量也逆时针转动90°，因此F₁逐渐变小，F₂先变小后变大。(当F₂⊥F₁，即挡板与斜面垂直时，F₂最小)

点评：力的图解法是解决动态平衡类问题的常用分析方法。这种方法的优点是形象直观。

[例5]如图7所示整个装置静止时，绳与竖直方向的夹角为30º。AB连线与OB垂直。若使带电小球A的电量加倍，带电小球B重新稳定时绳的拉力多大？

[解析]小球A电量加倍后，球B仍受重力G、绳的拉力T、库伦力F，但三力的方向已不再具有特殊的几何关系。若用正交分解法，设角度，列方程，很难有结果。此时应改变思路，并比较两个平衡状态之间有无必然联系。于是变正交分解为力的合成，注意观察，不难发现：AOB与FBT′围成的三角形相似，则有：AO/G=OB/T。说明系统处于不同的平衡状态时，拉力T大小不变。由球A电量未加倍时这一特殊状态可以得到：T=Gcos30º。球A电量加倍平衡后，绳的拉力仍是Gcos30º。