2．(2005湖北)双曲线离心率为2，有一个焦点与抛物线的焦点重合，则mn的值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　 D．

1．(2004湖北)已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F₁、F₂，点P在椭圆上，若P、F₁、F₂是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为　(　)

A．　　　　　　　 B．3　　　　　　　　 C．　　　　　　 D．

5．注意用好以下数学思想、方法：

①数形结合思想；②方程与函数思想；③化归转化思想；④分类讨论思想；⑤对称思想；⑥主元与参数思想．此外，整体思想、正难则反思想、构造思想等也是解析几何解题中不可缺少的思想方法．在复习中必须给予足够的重视，真正发挥其联系知识、简化计算、提高能力中的作用．

同步练习　　　　 8．5 圆锥曲线综合应用

　 [选择题]

4．四点重视：①重视定义在解题中的作用；②重视平面几何知识在解题中的简化功能；③重视根与系数关系在解题中的作用；④重视曲线的几何特征与方程的代数特征的统一．

3． 解决圆锥曲线应用问题时，要善于抓住问题的实质，通过建立数学模型，实现应用性问题向数学问题的顺利转化；要注意认真分析数量间的关系，紧扣圆锥曲线概念，充分利用曲线的几何性质，确定正确的问题解决途径，灵活运用解析几何的常用数学方法，求得最终完整的解答．

2．对于求曲线方程中参数范围或最值问题，应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式，通过解不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域来解，还有Δ法,几何法,向量法等．

1．解决圆锥曲线的综合问题应根据曲线的几何特征，熟练运用圆锥曲线的知识将曲线的几何特征转化为数量关系，再结合代数等知识来解。

[例1](2006福建) 已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。

(I)求过点O、F，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；

(II)设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与轴交于点G，求点G横坐标的取值范围。

解：(I)

圆过点O、F，

圆心M在直线上。

设则圆半径

由得

解得

所求圆的方程为

(II)设直线AB的方程为

代入整理得

直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根。

记中点

则

的垂直平分线NG的方程为

令得

点G横坐标的取值范围为

[例2](2006天津)如图，以椭圆的中心为圆心，分别以和为半径作大圆和小圆。过椭圆右焦点作垂直于轴的直线交大圆于第一象限内的点．连结交小圆于点．设直线是小圆的切线．

(1)证明，并求直线与轴的交

点的坐标；

(2)设直线交椭圆于、两点，证明

．

(Ⅰ)证明：由题设条件知，∽故

　　　　　　　　　　　　 ，即

因此，　　　　　①

　　　 解：在中

　　　　　　　　 ．

于是，直线OA的斜率．设直线BF的斜率为，则

　　　　　　　　　 ．

这时，直线BF与轴的交点为

(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)，得直线BF得方程为且

　　　　　　　　　　 ②

由已知，设、，则它们的坐标满足方程组

　　　　　　　　　　　　 ③

由方程组③消去，并整理得

　　　 　④

由式①、②和④，

由方程组③消去，并整理得

　　　 　⑤

由式②和⑤，

综上，得到

注意到，得

[例3]A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6 km，C在B正北偏西30°，相距4 km，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B、C两地比A距P地远，因此4 s后，B、C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，A若炮击P地，求炮击的方位角．

解：如下图，以直线BA为x轴，线段BA的中垂线为y轴建立坐标系，则

B(－3，0)、A(3，0)、C(－5，2)．

因为|PB|=|PC|，所以点P在线段BC的垂直平分线上．

因为k_BC=－，BC中点D(－4，)，

所以直线PD的方程为y－=(x+4)　　 　 　　 　①

又|PB|－|PA|=4，故P在以A、B为焦点的双曲线右支上．

设P(x，y)，则双曲线方程为－=1(x≥0)　 ②

联立①②，得x=8，y=5，

所以P(8，5)．因此k_PA==．

故炮击的方位角为北偏东30°．

[例4] (2006春上海) 学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验． 设计方案如图：航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以轴为对称轴、 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为． 观测点同时跟踪航天器．

(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；

(2)试问：当航天器在轴上方时，观测点测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？

解(1)设曲线方程为，　 由题意可知，． 　．

　曲线方程为

　 (2)设变轨点为，根据题意可知

　　　 得

　，

　　 或(不合题意，舍去)．

　 ．　 得 或(不合题意，舍去)．　

　点的坐标为， ．

答：当观测点测得距离分别为时，应向航天器发出变轨指令．

[研讨．欣赏](2006重庆)已知一列椭圆，。若椭圆上有一点，使到右准线的距离是与的等差中项，其中、分别是的左、右焦点。

(Ⅰ)试证：；

(Ⅱ)取，并用表示的面积，试证：且

证：(I)由题设及椭圆的几何性质有，故。

设，则右准线方程为．

因此，由题意应满足即解之得：。

即，从而对任意．

(II)设点的坐标为，则由及椭圆方程易知

。

因，故的面积为，

从而。

令。由，得两根从而易知函数在内是增函数。而在内是减函数。

　　 现在由题设取则是增数列。

又易知。

故由前已证，知，且。

说明:如果建立S_n与n的函数,讨论单调性比较复杂.

5．2；　6． +=1， +=1．相减得

∴=－·．

又∵M为AB中点，x₁+x₂=2，y₁+y₂=2．

∴直线l的斜率为－．

得直线l的方程为3x+4y－7=0．

4．设左焦点为F₁，右焦点为F₂，由双曲线定义和三角形边的关系得：

，选D