4．(2004全国Ⅰ)已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是

①两条平行直线;

②两条互相垂直的直线；

③同一条直线；

④一条直线及其外一点.

在上面结论中，正确结论的编号是__________.(写出所有正确结论的编号)

3．设线段AB、CD是夹在两平行平面a、b之间的异面线段，点A、CÎa，B、DÎb，若M、N分别是AB、CD的中点，则有　　　　　　　　　　　　 (　 )　

A.MN=(AC+BD　 B.MN>(AC+BD) 　

C.MN<(AC+BD)　　

D.MN与(AC+BD)大小关系不确定.

[填空题]

2．(2005年高考·湖北卷·文8)已知a、b、c是直线，是平面，给出下列命题：

①若；

②若；

③若；

④若a与b异面，且相交；

⑤若a与b异面，则至多有一条直线与a，b都垂直.其中真命题的个数是(　 )

A．1　　 B．2　 C．3　 　 D．4

1.a、b是两个不重合平面，l,m是两条不重合直线，那么a∥b的一个充分条件是(　 )

A.lÌa,mÌa,l∥b,m∥b　

　B.lÌa,mÌb,l∥m　

C.l⊥a,m⊥b,l∥m　　　

D.l∥a,m∥b,l∥m

3．解题中，要注意灵活地实施下面的转化: 线线ó线面ó面面；立体几何ó平面几何；从而使问题简

同步练习　　　　 　9.2线面平行、面面平行

2．证明两平面平行的常用方法：

1.直线和平面平行的判定方法：

[例1]：如图，设a,b是异面直线,AB是a,b的公垂线,过AB的中点O作平面α与a,b分别平行,M,N分别是a,b上的任意两点,MN与α交于点P,求证P是MN的中点.

证明:连接AN,交平面α与点Q,连PQ,

∵b∥α,bÌ平面ABN,平面ABN∩α=OQ,

∴b∥OQ，又O为AB的中点，

∴Q为AN的中点.

∵a∥α，aÌ平面AMN且平面AMN∩α=PQ

∴a∥PQ.　 ∴P为MN的中点.

[例2]如图，四面体A-BCD被一平面所截，截面EFGH是一个矩形.

(1)求证：CD∥平面EFGH.

(2)求异面直线AB、CD所成的角.

(3)若AB＝a，CD=b，

求截面EFGH面积的最大值.

(1)证明：∵截面EFGH是一个矩形，

∴EF∥GH， 又GHÌ平面BCD.

∴EF∥面BCD，而EFÌ面ACD，

面ACD∩面BCD=CD.

∴EF∥CD，∴CD∥平面EFGH.

(2)解：由(1)知CD∥EF，同理AB∥FG，由异面直线所成角的定义知∠EFG即为所求的角.易得∠EFG=90°.　 (3)答案：ab/4

◆思悟提炼：灵活进行：“线线平行ó线面平行”.

[例3] 已知正四棱锥P-ABCD的底面边长及侧棱长均为13，M、N分别是PA、BD上的点，且PM∶MA=BN∶ND=5∶8.

(1)求证：直线MN∥平面PBC；

(2)求直线MN与平面ABCD所成的角

　 证明(1)：∵P-ABCD是正四棱锥，

∴ABCD是正方形.连结AN并延长交

BC于点E，连结PE.

∵AD∥BC，∴EN∶AN=BN∶ND.

又∵BN∶ND=PM∶MA，

∴EN∶AN=PM∶MA.　

∴MN∥PE.又∵PE在平面PBC内，

∴MN∥平面PBC.

解(2)：由(1)知MN∥PE，

∴求MN与平面ABCD所成的角即可.

作PO⊥面ABCD于O，连结OE，则∠PEO为PE与平面ABCD所成的角.

由正棱锥的性质知

PO==.

由(1)知，BE∶AD=BN∶ND=5∶8，

　∴BE=.

在△PEB中，∠PBE=60°，

PB=13，BE=，

根据余弦定理，得PE=.

在Rt△POE中，PO=，PE=，

∴sin∠PEO==.

故MN与平面ABCD所成的角为arcsin.

◆思悟提炼：证线面平行，一般是转化为证线线平行.

求直线与平面所成的角一般是作出线与面所成的角-转化为一个平面内的线线角.

[例4]如下图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=a.

(1)求证：平面AD₁B₁∥平面C₁DB；

(2)求证：A₁C⊥平面AD₁B₁；

(3)求平面AB₁D₁与平面BC₁D间的距离.

(1)

证明：∵D₁B₁∥DB，∴D₁B₁∥平面C₁DB.同理，AB₁∥平面C₁DB.

又D₁B₁∩AB₁=B₁，∴平面AD₁B₁∥平面C₁DB.

(2)证明：∵A₁C₁⊥D₁B₁，而A₁C₁为A₁C在平面A₁B₁C₁D₁上的射影，∴A₁C₁⊥D₁B₁.　 同理，A₁C⊥AB₁，D₁B₁∩AB₁=B₁.

∴A₁C⊥平面AD₁B₁.

(3)解：设A₁C∩平面AB₁D₁=M，

A₁C∩平面BC₁D=N，O₁、O分别为上底面A₁B₁C₁D₁、下底面ABCD的中心. 则M∈AO₁，N∈C₁O，且AO₁∥C₁O，MN的长等于平面AD₁B₁与平面C₁DB的距离，即MN=A₁M=NC=A₁C=a.

6. 平面ABC、平面ABD

6．在四面体ABCD中，M、N分别是面△ACD、△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________.

◆答案提示：1-4.CBCD;　 5. ;