摘要：[例1]:如图.设a,b是异面直线,AB是a,b的公垂线,过AB的中点O作平面α与a,b分别平行,M,N分别是a,b上的任意两点,MN与α交于点P,求证P是MN的中点. 证明:连接AN,交平面α与点Q,连PQ, ∵b∥α,bÌ平面ABN,平面ABN∩α=OQ, ∴b∥OQ.又O为AB的中点. ∴Q为AN的中点. ∵a∥α.aÌ平面AMN且平面AMN∩α=PQ ∴a∥PQ. ∴P为MN的中点. [例2]如图.四面体A-BCD被一平面所截.截面EFGH是一个矩形. (1)求证:CD∥平面EFGH. (2)求异面直线AB.CD所成的角. (3)若AB＝a.CD=b. 求截面EFGH面积的最大值. (1)证明:∵截面EFGH是一个矩形. ∴EF∥GH. 又GHÌ平面BCD. ∴EF∥面BCD.而EFÌ面ACD. 面ACD∩面BCD=CD. ∴EF∥CD.∴CD∥平面EFGH. 知CD∥EF.同理AB∥FG.由异面直线所成角的定义知∠EFG即为所求的角.易得∠EFG=90°. (3)答案:ab/4 ◆思悟提炼:灵活进行:“线线平行ó线面平行 . [例3] 已知正四棱锥P-ABCD的底面边长及侧棱长均为13.M.N分别是PA.BD上的点.且PM∶MA=BN∶ND=5∶8. (1)求证:直线MN∥平面PBC, (2)求直线MN与平面ABCD所成的角 证明(1):∵P-ABCD是正四棱锥. ∴ABCD是正方形.连结AN并延长交 BC于点E.连结PE. ∵AD∥BC.∴EN∶AN=BN∶ND. 又∵BN∶ND=PM∶MA. ∴EN∶AN=PM∶MA. ∴MN∥PE.又∵PE在平面PBC内. ∴MN∥平面PBC. 解知MN∥PE. ∴求MN与平面ABCD所成的角即可. 作PO⊥面ABCD于O.连结OE.则∠PEO为PE与平面ABCD所成的角. 由正棱锥的性质知 PO==. 由(1)知.BE∶AD=BN∶ND=5∶8. ∴BE=. 在△PEB中.∠PBE=60°. PB=13.BE=. 根据余弦定理.得PE=. 在Rt△POE中.PO=.PE=. ∴sin∠PEO==. 故MN与平面ABCD所成的角为arcsin. ◆思悟提炼:证线面平行.一般是转化为证线线平行. 求直线与平面所成的角一般是作出线与面所成的角-转化为一个平面内的线线角. [例4]如下图.在正方体ABCD-A1B1C1D1中.AB=a. (1)求证:平面AD1B1∥平面C1DB, (2)求证:A1C⊥平面AD1B1, (3)求平面AB1D1与平面BC1D间的距离. (1) 证明:∵D1B1∥DB.∴D1B1∥平面C1DB.同理.AB1∥平面C1DB. 又D1B1∩AB1=B1.∴平面AD1B1∥平面C1DB. (2)证明:∵A1C1⊥D1B1.而A1C1为A1C在平面A1B1C1D1上的射影.∴A1C1⊥D1B1. 同理.A1C⊥AB1.D1B1∩AB1=B1. ∴A1C⊥平面AD1B1. (3)解:设A1C∩平面AB1D1=M. A1C∩平面BC1D=N.O1.O分别为上底面A1B1C1D1.下底面ABCD的中心. 则M∈AO1.N∈C1O.且AO1∥C1O.MN的长等于平面AD1B1与平面C1DB的距离.即MN=A1M=NC=A1C=a.

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