1．交集的定义　

一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．

记作AB(读作‘A交B’)，即AB={x|xA，且xB}．

11. ⑴设和的交点为，连接，连接，　

因为为的中点，为的中点，

所以，且　 又是中点，

则 且，

所以且．

所以四边形为平行四边形，

所以．

又平面，平面，

则平面……………………5分

⑵因为三棱柱各侧面都是正方形，

　　　　　　　 所以，

所以平面．

因为平面，所以．

由已知得，

所以．

所以平面

由⑴可知，

所以平面．

所以．

因为侧面是正方形，所以．

又平面，

平面．

所以平面．

⑶取中点，连接．

在三棱柱中，

因为平面

所以侧面底面．

因为底面是正三角形，且是中点，

所以，所以侧面．

所以是在平面上的射影，

所以是与平面所成角．

．　 ………………14分

解法二：如图所示，建立空间直角坐标系．

设边长为2，可求得，

．

　⑴易知，，

，所以，所以．

又，则平面…………5分

⑵易得，

所以．

所以．

又因为平面．

所以平面．………………10分

⑶设侧面的法向量为．

因为．

所以．

由得解得．

不妨令，设直线与平面所成角为，

所以．

所以直线与平面所成角的正弦值为．

10. 解法一(1)∵PC平面ABC，平面ABC，∴PCAB．……(2分)

∵CD平面PAB，平面PAB，∴CDAB．……………(3分)

又，∴AB平面PCB．　 ……………………(4分)

(2)过点A作AF//BC，且AF=BC，连结PF，CF．

则为异面直线PA与BC所成的角．………(6分)

由(1)可得AB⊥BC，∴CFAF．

由三垂线定理，得PFAF．

则AF=CF=，PF=，

在中，　 tan∠PAF==，

∴异面直线PA与BC所成的角为．…………………………………(8分)

(3)取AP的中点E，连结CE、DE．

∵PC=AC=2，∴CE PA，CE=．

∵CD平面PAB，

由三垂线定理的逆定理，得　 DE PA．

∴为二面角C-PA-B的平面角．…………………………………(10分)

由(1) AB平面PCB，又∵AB=BC，可得BC=．

　　 　在中，PB=，．

在中，

sin∠CED=．　　 　……(12分)

解法二：(1)同解法一．

(2) 由(1) AB平面PCB，∵PC=AC=2，

又∵AB=BC，可求得BC=．

以B为原点，如图建立坐标系．

则A(0，，0)，B(0，0，0)，

C(，0，0)，P(，0，2)．

，．

…………………(7分)

　　 则+0+0=2．

　　　　 == ．

　 ∴异面直线AP与BC所成的角为．………………………(8分)

(3)设平面PAB的法向量为．

，，

则　 即解得　 令= -1,　 得 = (，0，-1)．

　 设平面PAC的法向量为=()．，，

　则　 即解得　 令=1, 得 n= (1，1，0)．

　　 =．………………(12分)

9. (Ⅰ)证明：，

面面．

又面，

所以平面．

(Ⅱ)取的中点，连接．

平面

又平面．

，

面．

所以四棱锥的体积.

(Ⅲ)如图以中点为原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，

所以的中点坐标为．

因为，所以．

易知是平面的一个法向量，．

设平面的一个法向量为

由

令则，，．

．

所以面与面所成锐二面角的余弦值为．

18.8. 解：(I)证明：，

，同理可得BC//平面PDA，

又，…………………………………………4分

(II)如图以点D为坐标原点，以AD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图示：设该简单组合体的底面边长为1，PD=a，

则B(1,1,0),C(0,1,0),P(0,0,a),E(0,1,),N(,,)。

……………………8分

(III)连结DN，由(II)知

为平面ABCD的法向量，，

设平面PBE与平面ABCD所成的二面角为，则

，即平面PBE与平面ABCD所成的二面角为45⁰………………………13分

7. ⑴∵面，四边形是正方形，其对角线，交于点，

∴，．

∴平面，

∵平面，

∴　　　　　　　　　　

⑵当为中点，即时，平面，理由如下：

连结，由为中点，为中点，知，

而平面，平面，

故平面．

⑶作于，连结，

∵面，四边形是正方形，

∴，

又∵，，∴，

∴，且，

∴是二面角的平面角，

即，

∵⊥面，∴就是与底面所成的角

连结，则，，

∴，

∴，∴，

∴

∴与底面所成角的正切值是．

另解：以为原点，、、所在的直线分别为、、轴建立空间直角坐标系如图所示，

设正方形的边长为，则，，，，，，，．

⑴，，

∴

⑵要使平面，只需，而，

由可得，解得，，

∴，∴

故当时，平面

设平面的一个法向量为，

则，而，，

∴，取，得，

同理可得平面的一个法向量

设所成的角为，则，

即，∴，∴

∵面，∴就是与底面所成的角，

∴．

6. (Ⅰ)证明：∵三棱柱是直棱柱，∴平面.

　又∵平面，∴ .

∵，，是中点，∴.　 　　

又∵∩， ∴平面.　　

(Ⅱ)解：以为坐标原点，射线为轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则,,.

设，平面的法向量，

则,.

且，.于是

所以取，则　　　　

∵ 三棱柱是直棱柱，∴ 平面.又∵ 平面，

∴ 　.∵ ，∴ .∵ ∩，

∴ 平面.∴ 是平面的法向量，.

∵二面角的大小是，

∴. 解得. ∴.　

5. 解法一：(Ⅰ)平面，平面．．

又，．

，，

，即．

又．平面．

…………………．．6分

(Ⅱ)连接．

平面．，．

为二面角的平面角．

在中，，

，，

二面角的大小为．　　　　　　 ………………………．．12分

解法二：(Ⅰ)如图，建立坐标系，

则，，，，，

，，，

．，，

又，面．

(Ⅱ)设平面的法向量为，

设平面的法向量为，

则n, n

解得

．

，n>．二面角的大小为．

4. 方法1：(I)证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，，

∴平面PAD，　　　　　　　 …………(2分)

∵E、F为PA、PB的中点，

∴EF//AB，∴EF平面PAD；　　 …………(4分)

(II)解：过P作AD的垂线，垂足为O，

∵，则PO平面ABCD．

连OG，以OG，OD，OP为x、y、z轴建立空间坐标系，

　　　　　　　　　　　　　　　 …………(6分)

∵PA=PD，∴，

得，

，故，

设平面EFG的一个法向量为则，

，　　　　　 　　　　　　　　　　　…………(7分)

平面ABCD的一个法向量为

平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值是：

，锐二面角的大小是；　　　 …………(8分)

(III)解：设，M(x，，0)，则，　

设MF与平面EFG所成角为，

则，

或，∵M靠近A，∴　　　　　　　　　　 …………(10分)

∴当时， MF与平面EFG所成角正弦值等于．………(12分)

方法2：(I)证明：过P作P OAD于O，∵，

则PO平面ABCD，连OG，以OG，OD，OP为x、y、z轴建立空间坐标系，

　　　　　　　　　　　　　　　　 …………(2分)

∵PA=PD，∴，

得，

，

故，

∵，

∴EF平面PAD；　　　　　　　 …………(4分)

(II)解：，

设平面EFG的一个法向量为

则， ，…………(7分)

平面ABCD的一个法向量为……[以下同方法1]

方法3：(I)证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，，

∴平面PAD，　　　　　　　　 …………(2分)

∵E、F为PA、PB的中点，

∴EF//AB，∴EF平面PAD；　　　 …………(4分)

(II)解：∵ EF//HG，AB//HG，∴HG是所二面角的棱，

　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………(6分)

∵HG // EF，∴平面PAD， ∴DHHG，EHHG ，

∴EHA是锐二面角的平面角，等于；　　　　　　　　　 ………(8分)

(III)解：过M作MK⊥平面EFG于K，连结KF，

则KFM即为MF与平面EFG所成角，　 　　　　　　　　　………(10分)

因为AB//EF，故AB/平面EFG，故AB/的点M到平面EFG的距离等于A到平面EFG的距离，∵平面PAD，∴平面EFGH平面PBD于EH，

∴A到平面EFG的距离即三角形EHA的高,等于，即MK，

∴，，在直角梯形中，，

∴或∵M靠近A，∴　　　　　　　　 …………(11分)

∴当时， MF与平面EFG所成角正弦值等于．…………(12分)

3. ⑴证明：因为，且为的中点，所以．

又由题意可知，平面平面，交线为，且平面，

所以平面．

⑵如图，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系．

由题意可知，，又

∴．

所以得：，，，，，，则有：

，，．

设平面的一个法向量为，则有

，令，得，

所以．

．

因为直线与平面所成角和向量与所成锐角互余，

所以．

⑶设，

即，得．

所以，得

令平面，得，即，得，

即存在这样的点，为的中点．