8．矩形中，，平面，且，边上存在点，使得，求的取值范围。

7．如图，已知是由一点引出的不共面的三条射线，，求证：

6．是矩形，，沿对角线把折起，使，

(1)求证：是异面直线与的公垂线；(2)求的长。

5．如图，矩形所在的平面，分别是的中点，

(1)求证：平面；　　　 (2)求证：

(3)若，求证：平面

4．三条不同的直线，、、为三个不同的平面

　　 ①若∥　 ②若∥.

　　 ③若、④若∥

　　 上面四个命题中真命题的个数是　　　　　　　

3．在正方体中，点在侧面及其边界上运动，并且保持，则动点的轨迹为 　　　　　　　　　　　　　( 　)

线段　　 线段　 的中点与的中点连成的线段

的中点与的中点连成的线段

2．已知直线a、b和平面M、N，且，那么(　　 )

(A)∥Mb⊥a　　 (B)b⊥ab∥M

(C)N⊥Ma∥N　　 (D)

1．下列关于直线与平面的命题中，真命题是　　　　　　 (　　 )

若且，则　　 若且，则

若且，则　　 且，则　　

例1．四面体中，分别为的中点，且，，求证：平面

　证明：取的中点，连结，∵分别为的中点，

∴

，又∴，∴在中，

∴，∴，又，即，

∴平面

例2．如图是所在平面外一点，平面，是的中点，是上的点，

(1)求证：；(2)当，时，求的长。

(1)证明：取的中点，连结，∵是的中点，

　 ∴，∵ 平面 ，∴　 平面　　　　　　　　　　　　　

　 ∴是在平面内的射影 ，取 的中点，连结，∵∴，又，

∴

∴，∴，由三垂线定理得

(2)∵，∴，∴，

∵平面

∴，且，∴

例3. 如图，直三棱柱中，，侧棱，侧面的两条对角线交于点，的中点为，求证：平面

证明：连结，∵∴，在直三棱柱中，∴平面，

∵，∴，∴，

∵是侧面的两条对角线的交点，∴是与的中点，∴，连结，取的中点，连结，则，

∵平面，∴平面，∴是在

平面内的射影。在中，

在中，，∴

∴，∴，∴平面

4.设三棱锥的顶点在平面上的射影是，给出以下命题：

①若，，则是的垂心

②若两两互相垂直，则是的垂心

③若，是的中点，则

④若，则是的外心

其中正确命题的命题是　 ①②③④