1．运用向量的数量积可以解决有关长度、角度等问题．因此充分挖掘题目所包含的几何意义，往往能得出巧妙的解法．

5．向量数量积的运算律：

⑴ ·＝　　　　 ；

⑵ (λ)·＝　　　　 ＝·(λ)

⑶ (+)·＝　　　　

例1. 已知||＝4，||＝5，且与的夹角为60°，求：(2+3)·(3－2)．

解:(2+3)(3－2)＝－4

变式训练1.已知||＝3，||＝4，|+|＝5，求|2－3|的值．

解:

例2. 已知向量＝(sin，1)，＝(1，cos)，－．

(1) 若a⊥b，求；

(2) 求|+|的最大值．

解：(1)若，则

即　 而，所以

(2)

当时，的最大值为

变式训练2：已知，，其中． (1)求证： 与互相垂直； (2)若与的长度相等，求的值(为非零的常数)．

证明：

　　　 　与互相垂直

(2),

,

,,

而

，

例3. 已知O是△ABC所在平面内一点，且满足(－)·(+－2)＝0，判断△ABC是哪类三角形．

解:设BC的中点为D，则()()＝02·＝0BC⊥AD△ABC是等腰三角形.

变式训练3：若，则△ABC的形状是　　　　　　　　　　 .　　

解: 直角三角形.提示：

例4. 已知向量＝(cosθ, sinθ)和＝(－sinθ, cosθ)　 θ∈(π, 2π)且||＝，求cos()的值.

解:＝(cosθ－sinθ+, cosθ+sinθ)由已知(cosθ－sinθ+)²+(cosθ+sinθ)²＝

化简：cos

又cos²

∵θ∈(π, 2π)　 ∴cos<0

∴cos＝－

变式训练4.平面向量，若存在不同时为的实数和，使,且，试求函数关系式.

解：由得

4．向量数量积的性质：设、都是非零向量，是单位向量，θ是与的夹角．

⑴ ·＝·＝　　　　

⑵ ⊥　　　　

⑶ 当与同向时，·＝　　　　 ；当与反向时，·＝　　　　 ．

⑷ cosθ＝　　　　 ．

⑸ |·|≤　　　　

3．向量的数量积的几何意义：

||cosθ叫做向量在方向上的投影 (θ是向量与的夹角)．

·的几何意义是，数量·等于　　　　　　　　　　　　　　　　 　．

2．两个向量的数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，则数量　　　　　 叫做与的数量积(或内积)，记作·，即·＝　　　　 ．规定零向量与任一向量的数量积为0．若＝(x₁, y₁)，＝(x₂, y₂)，则·＝　　　　 ．

1．两个向量的夹角：已知两个非零向量和，过O点作＝，＝，则∠AOB＝θ (0°≤θ≤180°) 叫做向量与的　　　　 ．当θ＝0°时，与　　　　 ；当θ＝180°时，与　　　　 ；如果与的夹角是90°，我们说与垂直，记作　　　　 ．

2．由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，所以我们应根据题目的特点去选择向量的表示方法，由于坐标运算方便，可操作性强，因此应优先选用向量的坐标运算．

1．认识向量的代数特性．向量的坐标表示，实现了“形”与“数”的互相转化．以向量为工具，几何问题可以代数化，代数问题可以几何化．

4．两个向量＝(x₁、y₁)和＝(x₂、y₂)共线的充要条件是　　　　 ．

例1.已知点A(2，3)，B(－1，5)，且＝，求点C的坐标．

解＝＝(－1，)，＝＝(1, )，即C(1, )

变式训练1.若，，则=　　　　　　　　　　 .　　

解: 提示：

例2. 已知向量＝(cos，sin)，＝(cos，sin)，|－|＝，求cos(α－β)的值．

解:|－|＝＝cos＝cos(α－β)＝

变式训练2.已知－2＝(－3，1)，2+＝(－1，2)，求+．

解 ＝(－1，1)，＝(1，0)，∴+＝(0，1)

例3. 已知向量＝(1, 2)，＝(x, 1)，＝+2，＝2－，且∥，求x．

解:＝(1+2x，4)，＝(2－x，3)，∥3(1+2x)＝4(2－x)x＝

变式训练3.设＝(ksinθ, 1)，＝(2－cosθ, 1) (0 <θ<π)，∥，求证：k≥．

证明: k＝ ∴k－＝≥0　 ∴k≥

例4. 在平行四边形ABCD中，A(1，1)，＝(6，0)，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P．

(1) 若＝(3，5)，求点C的坐标；

(2) 当||＝||时，求点P的轨迹．

解：(1)设点C的坐标为(x₀，y₀)，

　得x₀＝10　 y₀＝6　 即点C(10，6)

(2) ∵ ∴点D的轨迹为(x－1)²+(y－1)²＝36　 (y≠1)

∵M为AB的中点 ∴P分的比为

设P(x，y)，由B(7，1)　 则D(3x－14，3y－2)

∴点P的轨迹方程为

变式训练4.在直角坐标系x、y中，已知点A(0，1)和点B(－3，4)，若点C在∠AOB的平分线上，且||＝2，求的坐标．

解 已知A (0，1)，B (－3，4)　 设C (0，5)，

D (－3，9)

则四边形OBDC为菱形　 ∴∠AOB的角平分线是菱形OBDC的对角线OD

∵

∴

3．平面向量的坐标运算：

若＝(x₁、y₁)，＝(x₂、y₂)，λ∈R，则：

+＝　　　　　　

－＝　　　　　　

λ＝　　　 　　　

已知A(x₁、y₁)，B(x₂、y₂)，则＝　　　　　　 ．