2、(04年高考湖南卷)如果双曲线上一点p到右准线的距离等于，那么点p到右焦线的距离是　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

A、　　　　　　　　 B、13　　 C、5　　　　　　　　　　　　 D、

1、A、B是平面内两定点，动点P到A、B两点的距离的差是常数，则P的轨迹是(　　 )

A、双曲线　　　　　　　　　 B、椭圆　　　　 C、双曲线的一支　　　　　 D、不能确定

5、对于直线与双曲线的位置关系，要注意“数形转化”“数形结合”，既可以转化为方程组的解的个数来确定，又可以把直线与双曲线的渐近线进行比较，从“形”的角度来判断．

[模拟试题](答题时间：60分钟)

4、求双曲线的方程的常用方法：

(1)定义法．

(2)待定系数法．涉及到直线与圆锥曲线的交点问题，经常是“设而不求”．

3、求双曲线的方程，经常要列方程组，因此，方程思想贯穿解析几何的始终，要注意定型(确定曲线形状)、定位(曲线的位置)、定量(由条件求参数)．

2、双曲线的渐近线的探求是一个热点．①已知双曲线方程求渐近线方程；②求已知渐近线方程的双曲线方程．

1、复习双曲线要与椭圆进行类比，尤其要注意它们之间的区别，如a、b、c、e的关系．

3、双曲线的几何性质(对进行讨论)

(1)范围：　　　　 ，　　　 ．

(2)对称性：对称轴方程为　　　　　　 ；对称中心为　　　　　 ．

(3)顶点坐标为　　　　　 ，焦点坐标为　　　　 ，实轴长为　 　　　，虚轴长为　　　　 ，准线方程为　　　　　 ，渐近线方程为　　　　 ．

(4)离心率=　　　　 ，且　　　 ，越大，双曲线开口越　　　 ，越小，双曲线开口越　　　　 ，焦准距P＝　　　　 ．

(5)焦半径公式，设F₁，F₂分别是双曲线的左、右焦点，若是双曲线右支上任意一点，　　　 ，　　　 ，若是双曲线左支上任意一点，　　　 ，　　　 ．

(6)具有相同渐近线的双曲线系方程为　　　

(7)　　　　 的双曲线叫等轴双曲线，等轴双曲线的渐近线为　　　　　 ，离心率为　　　 　　．

(8)的共轭双曲线方程为　　　　　 ．

[典型例题]

例1、根据下列条件，写出双曲线的标准方程

(1)中心在原点，一个顶点是(0，6)，且离心率是1.5．

(2)与双曲线x²－2y²＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)．

(3)已知双曲线的渐近线方程为，且过点(2，－6)，求双曲线的方程；

(4)已知双曲线的右准线为x＝4，右焦点为F(10，0)，离心率为e＝2，求双曲线的方程．

解：(1)∵顶点为(0，6)，设所求双曲线方程为　 ∴

又∵　 ∴

故所求的双曲线方程为

(2)令与双曲线x²－2y²＝2有公共渐近线的双曲线为x²－2y²＝k

∵ 双曲线过M(2，－2)

∴ 4－2×4＝k　　 得k＝－4

∴ x²－2y²＝－4即

(3)设

(4)

例2、中，固定底边BC，让顶点A移动，已知，且，求顶点A的轨迹方程．

答案：

例3、可以证明函数(b≠0)的图象是双曲线，试问双曲线C：的离心率e等于　　　 ．

答案：(提示：)

解：列表如下：

x				0
y´	+	0	－		－	0	+
y		极大 值－2		无意 义		极小值2

根据上表，可作出的草图如下：

渐近线有两条，一条为y轴，另一条可设为y＝kx．由渐近线的意义知：设P(x，y)为双曲线上任一点，则点P到渐近线y＝kx的距离为

d＝＝

显然：

∴　 即

故双曲线的离心率

.

例4、直线l：y＝kx+1与双曲线C：2x²－y²＝1的右支交于不同的两点A、B．

(1)求实数k的取值范围；

(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

解：(1)将y＝kx+1代入2x²－y²＝1后并整理得：(k²－2)x²+2kx+2＝0　 ①

依题意有：

－2＜k＜－

(2)设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则由①得：x₁+x₂＝，x₁x₂＝　 　 ②

假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c，0)，则FA⊥FB，因此＝0

即(x₁－c)(x₂－c)+y₁y₂＝0 又y₁＝kx₁+1，y₂＝kx₂+1

∴(k²+1)x₁x₂+(k－c)(x₁+x₂)+c²+1＝0　　 ③

把②及c＝代入③得：5k²+k－6＝0

解得：k＝－∈(－2，－)

或k＝(－2，－)(舍去)

因此当k＝－时，符合题给要求．

例5、在双曲线的一支上有不同的三点A(x₁，y₁)，B(x₂，6)，C(x₃，y₃)与焦点F(0，5)的距离成等差数列．

(1)求y₁+y₃；

(2)求证：线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求出这个定点的坐标．

解：(1)依题意，A、B、C均在双曲线的上支，则|AF|＝ey₁－， |BF|＝6e－， |CF|＝ey₃－

∵|AF|，|BF|，|CF|成AP

∴6e－＝　 即y₁+y₃＝12

(2)∵A、C在双曲线上

∴，

两式相减得：

于是AC的垂直平分线方程为：

y－6＝－

即y＝－x+

故直线恒过定点(0，)

例6、一双曲线以y轴为其右准线，它的右支过点M(1，2)， 且它的虚半轴、实半轴、半焦距长依次构成一等差数列试求：

(1)双曲线的离心率；

(2)双曲线的右焦点F的轨迹方程；

(3)过点M，F的弦的另一端点Q的轨迹方程

解：(1)依题意，2a=b+c， ∴b²=(2a－c)² = c²－a²，　 5a²－4ac=0，

两边同除以a²，得；

(2)设双曲线的右焦点F(x，y)， 由双曲线的定义，点M到右焦点的距离与点M到准线的距离之比为e=，

∴=，　

∴F的轨迹方程为(x－1)²+(y－2)²=

(3)设Q(x，y)， 点Q到右焦点的距离与点Q到准线的距离之比为5/4，

∴|QF|=，

　又设点F(x₁，y₁)， 则点F分线段QA的比为=：= x ，

∴x₁== ， y₁== ，

代入(x₁－1)²+(y₁－2)²=整理得：

点Q的轨迹方程为　 9x²－16y²+82x+64y－55=0

例7、若、为双曲线的左右焦点，O为坐标原点，P在双曲线左支，在右准线上，且满足，

(1)求双曲线离心率；

(2)若双曲线过点N(2，)，它的虚轴端点为，(在轴正半轴上)过作直线与双曲线交于A、B两点，当⊥时，求直线的方程。

(1)解：由得点P在∠MOF₁的角平分线上。且，

得四边形OMPF₁为菱形。PM=OM=c，得

(2)由(1)知双曲线方程可设为：将点N(2，)代入得双曲线方程为

。

将其与直线联立消去y得：

设，当⊥时得，

。

故所求直线l的方程为：

例8、已知动点P与双曲线的两个焦点F₁、F₂的距离之和为定值，且cos∠F₁PF₂的最小值为－．

(1)求动点P的轨迹方程；

(2)若已知点D(0，3)，点M、N在动点p的轨迹上且，求实数的取值范围．

解：(1)由题意得：C²＝5

设|PF₁|+|PF₂|＝2a (a＞)

则由余弦定理有：

cos∠F₁PF₂＝

又|PF₁|·|PF₂|≤

当且仅当|PF₁|＝|PF₂|时，|PF₁|·|PF₂|取最大值．

此时，cos∠F₁PF₂取得最小值

令

又c＝　 ∴b²＝4

故所求P的轨迹方程为

(2)设N(s，t)，M(x，y)则由

可得：(x，y－3)＝(s，t－3)

故

∵M、N在动点P的轨迹上．

∴　 且

又由| t |≤2 得：

例9、已知等轴双曲线C：上一定点P()及曲线C点上两个动点A、B，满足

(1)M、N分别为PA、PB中点，求证：(O为坐标原点)；

(2)求|AB|的最小值及此时A点坐标．

(1)证明：设，AP、BP中点分别M、N则，∴

同理

∵，则

∴，则

(2)解：∵，易知O、M、N、P四点共圆，且MN为圆的直径，OP为圆之一弦，故|MN|≥|OP|，又AB＝2MN，AB∥MN

∴| AB |≥2| OP |＝

所求|AB|的最小值为

此时| MN |＝| OP |＝，则ONPM为矩形

从而OM⊥AP，且M为AP中点，则O在AP的中垂线上，由，则

故A点为或

小结归纳：

2、双曲线的标准方程

(1)标准方程：，焦点在　　 轴上；，焦点在　　 轴上．其中：a　　 0，b　 　0，　　 ．

(2)双曲线的标准方程的统一形式：

1、双曲线的两种定义

(1)平面内与两定点F₁，F₂的　　　　　　　 常数(小于　　　　　　　　 )的点的轨迹叫做双曲线．

注：①当2a＝|F₁F₂|时，p点的轨迹是　　　　 ．

②2a＞|F₁F₂|时，p点轨迹不存在．

(2)平面内动点P到一个定点F和一条定直线l (F不在l上)的距离的比是常数e，当　　 时动点P的轨迹是双曲线．

设P到的对应准线的距离为，到对应的准线的距离为，则