摘要：双曲线的几何性质(对进行讨论) (1)范围: . ． (2)对称性:对称轴方程为 ,对称中心为 ． (3)顶点坐标为 .焦点坐标为 .实轴长为 .虚轴长为 .准线方程为 .渐近线方程为 ． (4)离心率= .且 .越大.双曲线开口越 .越小.双曲线开口越 .焦准距P＝ ． (5)焦半径公式.设F1.F2分别是双曲线的左.右焦点.若是双曲线右支上任意一点. . .若是双曲线左支上任意一点. . ． (6)具有相同渐近线的双曲线系方程为 (7) 的双曲线叫等轴双曲线.等轴双曲线的渐近线为 .离心率为 ． (8)的共轭双曲线方程为 ． [典型例题] 例1.根据下列条件.写出双曲线的标准方程 (1)中心在原点.一个顶点是(0.6).且离心率是1.5． (2)与双曲线x2-2y2＝2有公共渐近线.且过点M． (3)已知双曲线的渐近线方程为.且过点.求双曲线的方程, (4)已知双曲线的右准线为x＝4.右焦点为F.离心率为e＝2.求双曲线的方程． 解:.设所求双曲线方程为 ∴ 又∵ ∴ 故所求的双曲线方程为 (2)令与双曲线x2-2y2＝2有公共渐近线的双曲线为x2-2y2＝k ∵ 双曲线过M ∴ 4-2×4＝k 得k＝-4 ∴ x2-2y2＝-4即 (3)设 (4) 例2.中.固定底边BC.让顶点A移动.已知.且.求顶点A的轨迹方程． 答案: 例3.可以证明函数的图象是双曲线.试问双曲线C:的离心率e等于 ． 答案:(提示:) 解:列表如下: x 0 y´ + 0 - - 0 + y 极大 值-2 无意 义 极小值2 根据上表.可作出的草图如下: 渐近线有两条.一条为y轴.另一条可设为y＝kx．由渐近线的意义知:设P(x.y)为双曲线上任一点.则点P到渐近线y＝kx的距离为 d＝＝ 显然: ∴ 即 故双曲线的离心率 . 例4.直线l:y＝kx+1与双曲线C:2x2-y2＝1的右支交于不同的两点A.B． (1)求实数k的取值范围, (2)是否存在实数k.使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F?若存在.求出k的值,若不存在.说明理由． 解:(1)将y＝kx+1代入2x2-y2＝1后并整理得:(k2-2)x2+2kx+2＝0 ① 依题意有: -2＜k＜- (2)设A(x1.y1).B(x2.y2).则由①得:x1+x2＝.x1x2＝ ② 假设存在实数k.使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c.0).则FA⊥FB.因此＝0 即(x1-c)(x2-c)+y1y2＝0 又y1＝kx1+1.y2＝kx2+1 ∴(k2+1)x1x2+(k-c)(x1+x2)+c2+1＝0 ③ 把②及c＝代入③得:5k2+k-6＝0 解得:k＝-∈(-2.-) 或k＝(-2.-) 因此当k＝-时.符合题给要求． 例5.在双曲线的一支上有不同的三点A(x1.y1).B(x2.6).C(x3.y3)与焦点F(0.5)的距离成等差数列． (1)求y1+y3, (2)求证:线段AC的垂直平分线经过某一定点.并求出这个定点的坐标． 解:(1)依题意.A.B.C均在双曲线的上支.则|AF|＝ey1-. |BF|＝6e-. |CF|＝ey3- ∵|AF|.|BF|.|CF|成AP ∴6e-＝ 即y1+y3＝12 (2)∵A.C在双曲线上 ∴. 两式相减得: 于是AC的垂直平分线方程为: y-6＝- 即y＝-x+ 故直线恒过定点(0.) 例6.一双曲线以y轴为其右准线.它的右支过点M(1.2). 且它的虚半轴.实半轴.半焦距长依次构成一等差数列试求: (1)双曲线的离心率, (2)双曲线的右焦点F的轨迹方程, (3)过点M.F的弦的另一端点Q的轨迹方程 解:(1)依题意.2a=b+c. ∴b2=2 = c2-a2. 5a2-4ac=0. 两边同除以a2.得, (2)设双曲线的右焦点F(x.y). 由双曲线的定义.点M到右焦点的距离与点M到准线的距离之比为e=. ∴=. ∴F的轨迹方程为(x-1)2+(y-2)2= . 点Q到右焦点的距离与点Q到准线的距离之比为5/4. ∴|QF|=. 又设点F(x1.y1). 则点F分线段QA的比为=:= x . ∴x1== . y1== . 代入(x1-1)2+(y1-2)2=整理得: 点Q的轨迹方程为 9x2-16y2+82x+64y-55=0 例7.若.为双曲线的左右焦点.O为坐标原点.P在双曲线左支.在右准线上.且满足. (1)求双曲线离心率, (2)若双曲线过点N(2.).它的虚轴端点为.(在轴正半轴上)过作直线与双曲线交于A.B两点.当⊥时.求直线的方程. (1)解:由得点P在∠MOF1的角平分线上.且. 得四边形OMPF1为菱形.PM=OM=c.得 知双曲线方程可设为:将点N(2.)代入得双曲线方程为 . 将其与直线联立消去y得: 设.当⊥时得. . 故所求直线l的方程为: 例8.已知动点P与双曲线的两个焦点F1.F2的距离之和为定值.且cos∠F1PF2的最小值为-． (1)求动点P的轨迹方程, .点M.N在动点p的轨迹上且.求实数的取值范围． 解:(1)由题意得:C2＝5 设|PF1|+|PF2|＝2a (a＞) 则由余弦定理有: cos∠F1PF2＝ 又|PF1|·|PF2|≤ 当且仅当|PF1|＝|PF2|时.|PF1|·|PF2|取最大值． 此时.cos∠F1PF2取得最小值 令 又c＝ ∴b2＝4 故所求P的轨迹方程为 (2)设N(s.t).M(x.y)则由 可得:(x.y-3)＝(s.t-3) 故 ∵M.N在动点P的轨迹上． ∴ 且 又由| t |≤2 得: 例9.已知等轴双曲线C:上一定点P()及曲线C点上两个动点A.B.满足 (1)M.N分别为PA.PB中点.求证:, (2)求|AB|的最小值及此时A点坐标． (1)证明:设.AP.BP中点分别M.N则.∴ 同理 ∵.则 ∴.则 (2)解:∵.易知O.M.N.P四点共圆.且MN为圆的直径.OP为圆之一弦.故|MN|≥|OP|.又AB＝2MN.AB∥MN ∴| AB |≥2| OP |＝ 所求|AB|的最小值为 此时| MN |＝| OP |＝.则ONPM为矩形 从而OM⊥AP.且M为AP中点.则O在AP的中垂线上.由.则 故A点为或 小结归纳:

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