2.过球的一条半径的中点,作垂直于该半径的平面,则所得截面的面积与球的表面积的比为　　　 ( A　 )　

?A.?　　　　　　 B.?　　　　　　　　 C.?　　　　　　　　 D.　

1.一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则截面的可能图形是　　　　　　　　　　 ( C　 )　

A.①③?B.②④?　 C.①②③?D.②③④　

4.已知正四棱柱的对角线的长为，且对角线与底面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于　　 2　 .　

典例剖析

例1　 如图所示，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E是AC中点.　(1)求证：平面BEC₁⊥平面ACC₁A₁；　

(2)求证：AB₁∥平面BEC₁；　(3)若，求二面角E-BC₁-C的大小.　

(1)证明　 ∵ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，　∴A₁A⊥平面ABC，∴BE⊥AA₁.　

∵△ABC是正三角形，E是AC的中点，　∴BE⊥AC，又AA₁∩AC=A，∴BE⊥平面ACC₁A₁，　

又∵BE平面BEC₁，　∴平面BEC₁⊥平面ACC₁A₁.　

(2)证明　 连结B₁C，设BC₁∩B₁C=D，连结DE.

∵ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，　∴BCC₁B₁是矩形，D是B₁C的中点.　

∵E是AC的中点，∴AB₁∥DE.∵DE平面BEC₁，AB₁平面BEC₁，　∴AB₁∥平面BEC₁.　

(3)解　 作CF⊥EC₁于F，　FG⊥BC₁于G，连结CG.　∵平面BEC₁⊥平面ACC₁A₁，　

∴CF⊥平面BEC₁.　∴FG是CG在平面BEC₁上的射影.根据三垂线定理得，CG⊥BC₁.　

∴∠CGF是二面角E-BC₁-C的平面角.　设AB=a，∵，则AA₁=a.　

在Rt△ECC₁中，CF=　在Rt△BCC₁中，CG=　

在Rt△CFG中，　∵sin∠CGF=，∴∠CGF=45°.　∴二面角E-BC₁-C的大小为45°.　

例2　 在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是矩形且AB=2BC=2，侧面△ADE是正三角形且垂直于底面ABCD，

F是AB的中点，AD的中点为O.求：(1)异面直线AE与CF所成的角；(2)点O到平面EFC的距离；　

(3)二面角E-FC-D的大小.　

解　 (1)取EB的中点G，连结FG，则FG∥AE，∴∠GFC为AE与CF所成的角，

∵平面AED⊥平面ABCD，∴底面ABCD是矩形，∴AB⊥AD，　

∴AB⊥平面EAD，∴AB⊥EA，　∴EB=同理，EC=.　

∴在△EBC中，由余弦定理得CG=.　又∵FG=EA=，CF=. 　

∴△CFG是直角三角形，　∴cos∠CFG=，∴异面直线AE与CF所成的角为arccos.　

(2)AD的中点为O，则EO⊥平面ABCD，　作OR⊥CF且与CF交于点R，则CF⊥ER　

∴CF⊥平面EOR，又∵CF平面EFC，　∴平面EOR⊥平面EFC.　

过O作OH⊥ER且与ER交于H,　则OH⊥平面EFC，　

∴OH的长即为点O到平面EFC的距离.　由S_△CFO=S_矩形ABCD-S_△AOF-S_△CBF-S_△COD，∴OR=.　

在Rt△EOR中，OH=.∴所求距离为.　

(3)∠ERO即为二面角E-FC-D的平面角，　an∠ERO=∴所求二面角的大小是arctan.　

例3在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=a，BC=CA=AA₁=a，A₁在底面ABC上的射影O在AC上.　

(1)求AB与侧面A₁ACC₁所成的角；　(2)若O恰为AC的中点，求此三棱柱的侧面积.　

解　 (1)∵A₁O⊥平面ABC，　∴平面A₁ACC₁⊥平面ABC.　

在△ABC中，由BC=AC=a，　AB=a，　

得∠ACB=90°，∠CAB=45°,∴BC⊥AC，∴BC⊥平面A₁ACC₁，　AB与侧面A₁ACC₁所成的角为∠CAB=45°. (2)O是AC中点，　在Rt△AA₁O中，　AA₁=a，AO=a，　∴∠A₁AC=60°，

过C作CD⊥CC₁交AA₁于D，连结BD，由(1)知BC⊥平面A₁ACC₁，

∴BC⊥CC₁，又BC平面BCD，　CD平面BCD，BC∩CD=C，∴CC₁⊥截面BCD，∴CC₁⊥BD，　

∴AA₁⊥BD，　在Rt△ACD中，CD=a，在Rt△BCD中，BD=

则S_三棱柱侧=?=AA₁·BD+AA₁·DC+CC₁·BC=　

例4.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°,PA=PD=DC=CB=AB,E是BP的中点.　(1)求证：EC∥面APD；(2)求BP与平面ABCD所成角的正切值.　(3)求二面角P-AB-D的大小.　(1)证明　 如图，取PA中点F，连结EF、FD，　∵E是BP的中点，　

∴EF∥AB且EF=AB.　又∵DC∥AB，DC=AB，　∴EF∥CD且EF=CD.　

∴四边形EFDC是平行四边形，故得EC∥FD.　

又∵EC平面PAD，　FD平面PAD，∴EC∥平面ADP.　

(2)解　 取AD的中点H，连结PH，BH，　∵PA=PD，∴PH⊥AD.　

∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PH⊥平面ABCD.　

∴HB是PB在平面ABCD内的射影.　∴∠PBH是PB与平面ABCD所成的角.　

由已知∠ABC=∠BCD=90°,　∴四边形ABCD是直角梯形，DC=CB=AB.　

设AB=2a，则BD=a，　在△ADB中，易得∠DBA=45°,∴AD=a.　

PH=.又∵BD²+AD²=4a²=AB²，　

∴△ABD是等腰直角三角形，∠ADB=90°.∴HB=.　

∴在Rt△PHB中，tan∠PBH=.　

(3)解　 在平面ABCD内过点H作AB的垂线交AB于G点，连结PG，则HG是PG在平面ABCD内的射影，　

故PG⊥AB，所以∠PGH是二面角P-AB-D的平面角，　

由AB=2a，HA=a，又∠HAB=45°,∴HG=a.　在Rt△PHG中，tan∠PGH=.　

∴二面角P-AB-D的大小为arctan.

例5如图所示，三棱锥中，，，，求三棱锥的体积.(要求用四种不同的方法)

3.平行于棱锥底面的截面把棱锥某侧面分成面积比1∶3两部分，则棱锥的侧棱分成两部分长度比(从上到下)为 ( A 　)

?A.1∶1 ?　 B.1∶3?　　 C.1∶2? D.1∶5　

A.棱柱有一条侧棱与底面垂直　?B.棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直　

?　　　　　 C.棱柱有一个侧面是矩形，且与底面垂直　D.棱柱有两个侧面是矩形，且与底面垂直　

2.(2009·开封模拟)已知长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为(C　　 )　?A.2?　 　　 B.?　　　 C.5?　 D.6　

4.棱锥的体积:　 V=Sh，其S是棱锥的底面积，h是高.

3.一般棱锥的性质--定理：

棱锥被平行于棱锥底面的平面所截，则截面和底面相似，且其面积的比等于截得的棱锥的高和已知棱锥高的平方比.

2.正棱锥的性质：

(1)各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形.

(2)棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形.

1.定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥.

如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥.

(1)定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱.

(2) 棱柱的性质：

①侧棱都相等，侧面都是平行四边形；②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；

③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形.

(3)棱柱的分类：

①按底面多边形的边数分类：②按侧棱与底面的位置关系分类:

(4)特殊的四棱柱:　

四棱柱→平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱 →正方体.请在“→”上方添上相应的条件.

(5)长方体对角线定理:

长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和.

(6)棱柱的体积公式:,是棱柱的底面积,是棱柱的高.