6.A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足，则△BCD是　　　 (　 B )　

?A.钝角三角形　　　　　　 B.锐角三角形　?C.直角三角形　　　　　　 D.不确定　

5.已知A(4，1，3)，B(2，-5，1)，C为线段AB上一点，且，则C点的坐标为(　 C　 )　　　　 A.?　　　　 　　 B.　?C.　　　　　 D.

4.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E、F分别是BC、AD的中点，则·的值为( C　　 )

?A.a²?　　　　　　　　　 B.a²?　　　　　　　 C.a² ?　　　　　　 D.a²　

3.(2009·东莞模拟)已知向量a,b满足|a|=2，|b|=3，|2a+b|=，则a与b的夹角为　　　　　　　 (　 C　 )　 A.30°　　 　　　　　　　 B.45°?　　　　　　　 C.60°　　　　　　　　 D.90°?　

2.已知向量a=，b=(x，1，2)，其中x＞0.若a∥b，则x的值为　　　　　　　　　　　 (　 B　 )　　　　　　 　A.8? 　　　　　　　 B.4　　　　　　　 ?　 C.2?　　　　　　　　 D.0　

1.已知点O、A、B、C为空间不共面的四点，且向量a=++，向量b=+-，则与a,b不能构成空间基底的向量是　 　　　　　　　　　　　 ( C　　 )　

A.?　　　　　　　 B.?　　　　　　　　 C.?　　　　　　　 D.或

5．(2006浙江)正四面体ABCD的棱长为l，棱AB∥平面，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是______.

◆答案提示：1-3.DBDA;　 5. 6. .CD⊥平面α时射影面积最小；CD//α时射影面积最大.

典例剖析

例1　 如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点.

(1)求证：MN⊥CD；　(2)若∠PDA=45°求证：MN⊥平面PCD.　

证明　 (1)连接AC，AN，BN，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，　

在Rt△PAC中，N为PC中点，　∴AN=PC.　

∵PA⊥平面ABCD，　∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A，　∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，　

从而在Rt△PBC中，BN为斜边PC上的中线，　∴BN=PC.∴AN=BN，　∴△ABN为等腰三角形，　

又M为底边的中点，∴MN⊥AB，　又∵AB∥CD，∴MN⊥CD.　

(2)连接PM、CM,∵∠PDA=45°，PA⊥AD，∴AP=AD.　∵四边形ABCD为矩形.

∴AD=BC，∴PA=BC.　又∵M为AB的中点，∴AM=BM.　

而∠PAM=∠CBM=90°,∴PM=CM.　又N为PC的中点，∴MN⊥PC.　由(1)知，MN⊥CD，PC∩CD=C,　

∴MN⊥平面PCD.　

例2　 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G为AD边的中点，(1)求证：BG⊥平面PAD；　(2)求证：AD⊥PB；(3)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论.　

(1)证明　 在菱形ABCD中，∠DAB=60°，G为AD的中点，所以BG⊥AD，　

又平面PAD⊥平面ABCD，　平面PAD∩平面ABCD=AD，　所以BG⊥平面PAD.　

(2)证明　 连接PG，因为△PAD为正三角形， G为AD的中点，得PG⊥AD，　

由(1)知BG⊥AD，　PG平面PGB，BG平面PGB，PG∩BG=G，　

所以AD⊥平面PGB，因为PB平面PGB，　所以AD⊥PB.　

(3)解　 当F为PC的中点时，　满足平面DEF⊥平面ABCD.证明如下：　取PC的中点F，连接DE、EF、DF，　

在△PBC中，FE∥PB，在菱形ABCD中，　

GB∥DE，而FE平面DEF，DE平面DEF，EF∩DE=E，所以平面DEF∥平面PGB，　

因为BG⊥平面PAD，所以BG⊥PG　又因为PG⊥AD，AD∩BG=G，　

∴PG⊥平面ABCD，而PG平面PGB，所以平面PGB⊥平面ABCD，　所以平面DEF⊥平面ABCD.　

例3如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.证明：　

(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.　

证明　 (1)在四棱锥P-ABCD中，　∵PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，∴PA⊥CD.　

∵AC⊥CD,PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC.　而AE平面PAC，∴CD⊥AE.　

(2)由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得AC=PA.　∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.　

由(1)知，AE⊥CD,且PC∩CD=C,∴AE⊥平面PCD.而PD平面PCD，∴AE⊥PD.　

∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.　又∵AB⊥AD且PA∩AD=A,　

∴AB⊥平面PAD，而PD平面PAD，∴AB⊥PD.　又∵AB∩AE=A,综上得PD⊥平面ABE.

例4　 如图所示，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，B₁C₁=A₁C₁， AC₁⊥A₁B，M、N分别是A₁B₁、AB的中点.　

(1)求证：C₁M⊥平面A₁ABB₁；　(2)求证：A₁B⊥AM；(3)求证：平面AMC₁∥平面NB₁C；(4)求A₁B与B₁C所成的角.　(1)证明　 方法一　 由直棱柱性质可得AA₁⊥平面A₁B₁C₁，　

又∵C₁M平面A₁B₁C₁，∴AA₁⊥MC₁.又∵C₁A₁=C₁B₁，M为A₁B₁中点，∴C₁M⊥A₁B₁.　

又A₁B₁∩A₁A=A₁，　∴C₁M⊥平面AA₁B₁B. 　

(2)证明　 由(1)知C₁M⊥平面A₁ABB₁，　∴C₁A在侧面AA₁B₁B上的射影为MA.　

∵AC₁⊥A₁B，MC₁⊥A₁B，MC₁∩AC₁=C₁，　∴A₁B⊥平面AMC₁，又AM平面AMC₁，　

∴A₁B⊥AM.　

(3)证明　 由(1)知C₁M⊥平面AA₁B₁B，　A₁B平面AA₁B₁B，∴C₁M⊥A₁B.　

又∵A₁B⊥AC₁，而AC₁∩C₁M=C₁，　∴A₁B⊥平面AMC₁.　同理可证，A₁B⊥平面B₁NC.　

∴平面AMC₁∥平面B₁NC. 　

(4)解　方法一　 由(2)知A₁B⊥AM，又由已知A₁B⊥AC₁，AM∩AC₁=A，∴A₁B⊥平面AMC₁.　

又∵平面AMC₁∥平面NB₁C，∴A₁B⊥平面NB₁C.　又B₁C平面NB₁C，∴A₁B⊥B₁C.　∴A₁B与B₁C所成的角为90°.　

4.已知P为Rt△ABC所在平面外一点，且PA=PB=PC，D为斜边AB的中点，则直线PD与平面ABC.　　　 (　 )

A．垂直　　　 B.斜交　　 C.成600角　　 D.与两直角边长有关

3.直角△ABC的斜边BC在平面a内，顶点A在平面a外，则△ABC的两条直角边在平面a内的射影与斜边BC组成的图形只能是　　　　　　　　　 (　 )

A.一条线段　　　 B.一个锐角三角形　 C.一个钝角三角形　 D.一条线段或一个钝角三角形

2.如果直线l⊥平面a，①若直线m⊥l,则m∥a；　 ②若m⊥a,则m∥l；③若m∥a,则m⊥l； ④若m∥l,则m⊥a,

上述判断正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 )

A.①②③　　　 B.②③④　　 C.①③④　　　 D.②④