1.下列叙述不正确的是(　 )

A.向量的数量积满足交换律　　 B.向量的数量积满足分配律

C.向量的数量积满足结合律　　 D.a·b是一个实数

例1 已知a、b都是非零向量，且a + 3b与7a - 5b垂直，a - 4b与7a - 2b垂直，求a与b的夹角.

解：由(a + 3b)(7a - 5b) = 0 Þ 7a² + 16a×b -15b² = 0　　 ①

　　 (a - 4b)(7a - 2b) = 0 Þ 7a² - 30a×b + 8b² = 0　　 ②

两式相减：2a×b = b²

代入①或②得：a² = b²

设a、b的夹角为q，则cosq =　 ∴q = 60°

例2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.

解：如图：平行四边形ABCD中，，，=

∴||²=

而= ，

∴||²=

∴||² + ||² = 2=

例3 四边形ABCD中，＝a，＝b，＝с，＝d，且a·b＝b·с＝с·d＝d·a，试问四边形ABCD是什么图形?

分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量.

解：四边形ABCD是矩形，这是因为：

一方面：∵a+b+с+d＝0，∴a+b＝－(с+d)，∴(a+b)²＝(с+d)²

即｜a｜²+2a·b+｜b｜²＝｜с｜²+2с·d+｜d｜²

由于a·b＝с·d，∴｜a｜²+｜b｜²＝｜с｜²+｜d｜²①

同理有｜a｜²+｜d｜²＝｜с｜²+｜b｜²②

由①②可得｜a｜＝｜с｜，且｜b｜＝｜d｜即四边形ABCD两组对边分别相等.

∴四边形ABCD是平行四边形

另一方面，由a·b＝b·с，有b(a－с)＝0，而由平行四边形ABCD可得a＝－с，代入上式得b·(2a)＝0，即a·b＝0，∴a⊥b也即AB⊥BC.

综上所述，四边形ABCD是矩形.

评述：(1)在四边形中，，，，是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即a+b+с+d＝0，应注意这一隐含条件应用；

(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系.

3．分配律：(a + b)×c = a×c + b×c

　 在平面内取一点O，作= a， = b，= c，　 ∵a + b (即)在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即　 |a + b| cosq = |a| cosq₁ + |b| cosq₂

　∴| c | |a + b| cosq =|c| |a| cosq₁ + |c| |b| cosq₂， ∴c×(a + b) = c×a + c×b　　 即：(a + b)×c = a×c + b×c

说明：(1)一般地，(a·b)с≠a(b·с)

(2)a·с＝b·с，с≠0a＝b

(3)有如下常用性质：a²＝｜a｜²，

(a+b)(с+d)＝a·с+a·d+b·с+b·d

(a+b)²＝a²+2a·b+b²

2．数乘结合律：(a)×b =(a×b) = a×(b)

证：若> 0，(a)×b =|a||b|cosq， (a×b) =|a||b|cosq，a×(b) =|a||b|cosq，

若< 0，(a)×b =|a||b|cos(p-q) = -|a||b|(-cosq) =|a||b|cosq，(a×b) =|a||b|cosq，

a×(b) =|a||b|cos(p-q) = -|a||b|(-cosq) =|a||b|cosq.

平面向量数量积的运算律

1．交换律：a × b = b × a

证：设a，b夹角为q，则a × b = |a||b|cosq，b × a = |b||a|cosq

　∴a × b = b × a

5．两个向量的数量积的性质：

设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.

1°　 e×a = a×e =|a|cosq；　　 2°　 a^b Û a×b = 0

3°　 当a与b同向时，a×b = |a||b|；当a与b反向时，a×b = -|a||b|. 特别的a×a = |a|²或

4°cosq = ；5°|a×b| ≤ |a||b|

3．“投影”的概念：作图

定义：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影.

投影也是一个数量，不是向量；当q为锐角时投影为正值；当q为钝角时投影为负值；当q为直角时投影为0；当q = 0°时投影为 |b|；当q = 180°时投影为 -|b|.

2．平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cosq叫a与b的数量积，记作a×b，即有a×b = |a||b|cosq，

(0≤θ≤π).并规定0与任何向量的数量积为0.

1．两个非零向量夹角的概念

已知非零向量a与b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫a与b的夹角.

3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.

教学重点：平面向量数量积及运算规律.

教学难点：平面向量数量积的应用

授课类型：新授课

教　　 具：多媒体、实物投影仪

内容分析： 　　 启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质.　

教学过程：