1.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和，减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍,即

2.正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即　　　　　　　　　　

6.已知的三内角所对边的长分别为设向量,,若,则角的大小为

(A)　 　　　　(B) 　　　　　(C) 　　　　　　(D)

§8.2平面向量与代数、几何的综合应用

5. 、是单位向量，的夹角为，以、为邻边作平行四边形。求平行四边形对角线的长。

4. 从点沿向量方向取线段AB，使，则B点坐标为　　

3. 将函数y= 4x－8的图象L按向量平移到L^/，L^/的函数表达式为y= 4x，则向量=　　 　

2.设向量满足,,则

(A)1　　　　　 (B)2　　　　　　 (C)4　　　　　 (D)5

1. ，则有(　　 )

　　 A. 　　　　　B.

C. 　　　　　　D.

[例1] 和= (3,－4)平行的单位向量是_________；

错解：因为的模等于5，所以与平行的单位向量就是，即 (，－)

错因：在求解平行向量时没有考虑到方向相反的情况。

正解：因为的模等于5，所以与平行的单位向量是，即(，－)或(－，)

点评：平行的情况有方向相同和方向相反两种。读者可以自己再求解“和= (3,－4)垂直的单位向量”，结果也应该是两个。

[例2]已知A(2，1)，B(3，2)，C(-1，4)，若A、B、C是平行四边形的三个顶点，求第四个顶点D的坐标。

错解：设D的坐标为(x，y)，则有x-2=-1-3，y-1=4-2 ，即x=-2，y=3。故所求D的坐标为(-2，3)。

错因：思维定势。习惯上，我们认为平行四边形的四个顶点是按照ABCD的顺序。其实，在这个题目中，根本就没有指出四边形ABCD。因此，还需要分类讨论。

正解：设D的坐标为(x，y)

当四边形为平行四边形ABCD时，有x-2=-1-3，y-1= 4-2 ，即x= -2，y= 3。解得D的坐标为(-2，3)；

当四边形为平行四边形ADBC时，有x-2=3-(-1)，y-1= 2-4 ，即x= 6，y= -1。解得D的坐标为(6，-1)；

当四边形为平行四边形ABDC时，有x-3=-1-2，y-2= 4-1 ，即x= 0，y= 5。解得D的坐标为(0，5)。

故第四个顶点D的坐标为(-2，3)或(6，-1)或(0，5)。

[例3]已知P₁(3,2)，P₂(8，3)，若点P在直线P₁P₂上，且满足|P₁P|=2|PP₂|，求点P的坐标。

错解：由|P₁P|=2|PP₂|得，点P 分P₁P₂所成的比为2，代入定比分点坐标公式得P()

错因：对于|P₁P|=2|PP₂|这个等式，它所包含的不仅是点P为 P₁，P₂ 的内分点这一种情况，还有点P是 P₁，P₂的外分点。故须分情况讨论。

正解：当点P为 P₁，P₂ 的内分点时，P 分P₁P₂所成的比为2，此时解得P()；

　　　 当点P为 P₁，P₂ 的外分点时，P 分P₁P₂所成的比为-2，此时解得P(13，4)。

　　　 则所求点P的坐标为()或(13，4)。

点评：在运用定比分点坐标公式时，要审清题意，注意内外分点的情况。也就是分类讨论的数学思想。

[例4] 设向量 ，，，则“”是“”的

　 A.充分不必要条件　　　　　　　　 B.必要不充分条件

　 C.充要条件　　　　　　　　　　　 D.既不充分也不必要条件

分析：根据向量的坐标运算和充要条件的意义进行演算即可．

解：若，∵，则，代入坐标得：，即且 _．消去，得；

反之，若，则且，即

　 则，∴

　 故“”是“ ”的充要条件．

答案：C

点评：本题意在巩固向量平行的坐标表示．

[例5]．已知=(1，-1)，=(-1，3)，=(3，5)，求实数x、y，使=x +y ．

分析：根据向量坐标运算和待定系数法，用方程思想求解即可．

解：由题意有

　　 x +y =x(1，-1)+y(-1，3)=(x-y，-x+3y)．

　　 又 =(3，5)

　　 ∴x-y=3且-x+3y=5

　　 解之得 x=7 且y=4

点评：在向量的坐标运算中经常要用到解方程的方法．

[例6]已知A(-1，2)，B(2，8)，= ，= -，求点C、D和向量的坐标．

分析：待定系数法设定点C、D的坐标，再根据向量 ， 和 关系进行坐标运算，用方程思想解之．

　解：设C、D的坐标为、，由题意得

　=()，=(3，6)，　=()，=(-3，-6)

　 又= ，= -

　 ∴()=(3，6)， ()=-(-3，-6)

　 即 ()=(1,2) ， ()=(1,2)

　 ∴且，且

　 ∴ 且 ，且

　 ∴点C、D和向量 的坐标分别为(0，4)、(-2，0)和(-2，-4)

小结：本题涉及到方程思想，对学生运算能力要求较高．

5．平移公式中首先要知道这个公式是点的平移公式，故在使用的过程中须将起始点的坐标给出，同时注意顺序。

4．定比分点公式中则要记清哪个点是分点；还有就是此公式中横坐标和纵坐标是分开计算的；