[例1]下列所表示的空间直角坐标系的直观图中，不正确的是( )
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A |
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B |
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C |
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D |
错解：B、C、D中任选一个
错因：对于空间直角坐标系的表示不清楚。有共同的原点，且两两垂直的三条数轴，只要符合右手系的规定，就可以作为空间直角坐标系．
正解：易知(C)不符合右手系的规定，应选(C)．
[例2]已知点A(－3，－1，1)，点B(－2，2，3)，在Ox、Oy、Oz轴上分别取点L、M、N，使它们与A、B两点等距离．
错因：对于坐标轴上点的坐标特征不明；使用方程解题的思想意识不够。
分析：设Ox轴上的点L的坐标为(x，0，0)，由题意可得关于x的一元方程，从而解得x的值．类似可求得点M、N的坐标．
解：设L、M、N的坐标分别为(x，0，0)、(0，y，0)、(0，0，z)．
由题意，得
(x+3)2+1+1＝(x+2)2+4+9，
9+(y+1)2+1＝4+(y－2)2+9，
9+1+(z－1)2＝4+4+(z－3)2．
分别解得 ，
故
评注：空间两点的距离公式是平面内两点的距离公式的推广：若点P、Q的坐标分别为(x1，y1，z1)、(x2，y2，z2)，则P、Q的距离为
必须熟练掌握这个公式．
[例3]设 ， ，且 ，记 ，求 与 轴正方向的夹角的余弦值
错解：取 轴上的任一向量 ，设所求夹角为 ，
∵
∴ ，
即余弦值为
错因：审题不清。没有看清“ 轴正方向”，并不是 轴
正解：取 轴正方向的任一向量 ，设所求夹角为 ，
∵
∴ ，即为所求
[例4]在ΔABC中，已知 ＝(2,4,0), ＝(－1,3,0)，则∠ABC＝＿＿＿
解：
=
∴∠ABC＝135°
[例5]已知空间三点A(0,2,3),B(－2,1,6),C(1,－1,5)，
⑴求以向量 为一组邻边的平行四边形的面积S；
⑵若向量 分别与向量 垂直，且| |＝ ，求向量 的坐标
分析：⑴
∴∠BAC＝60°，
⑵设 ＝(x,y,z)，则
解得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－1，∴ ＝(1,1,1)或 ＝(－1，－1，－1).
[例6]已知正方体 的棱长为 ， 是 的中点， 是对角线 的中点，
求异面直线 和 的距离
解： 以 为原点， 所在的直线分别为 轴， 轴、 轴建立空间直角坐标系，则
，
设 ，
∵ 在平面 上，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
解得： ，∴ ，∴ ．
另外,此题也可直接求 与 间的距离
设 与 的公垂线为 ，且 ，
设 ，设 ，
则 ，∴ ，∴ ，
同理 ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
解得： ， ， ．