4. English has become the most wildly spoken language in the world ______ its special role as an international language.

A. because　　　 　 B. from　　　 　 C. with　　　 　　 D. because of

3. Americans and Canadians can understand each other ______ they don’t speak the same kind of English.

A. now that　　 　 B. even if　 　　 C. as if 　 　　D. only if

2. I don’t know ______ tomorrow. Can you tell me?

A. when we started　　　 B. when did we start

C. when we will start 　 D. when will we start

第一节 单项选择(共20小题；每小题1分，满分20分)

从A、B、C、D四个选项中，选出可以填入空白处的最佳选项。

1. We discussed where to go for a whole morning, but we decided to stay at home_____.

A. at the end　　 B. by the end　　 C. in the end　　　　 D. on end

21．(本题满分14分)

已知数列中，，且．

(Ⅰ) 求数列的通项公式；

(Ⅱ) 令，数列的前项和为，试比较与的大小；

(Ⅲ) 令，数列的前项和为．求证：对任意_，

都有 ．

21解：(Ⅰ)由题知， ，

由累加法，当时，

代入，得时，

又，故．　　　　　　　　　　　　 ．．．．．．．．．．．．．．．．4分

(II)时，．

方法1：当时，；当时，；

当时，．

猜想当时，．　　　　　　　　　　　　　　　　 ．．．．．．．．．．．．．．．．6分

下面用数学归纳法证明：

①当时，由上可知成立；

②假设时，上式成立，即.

当时，左边

，所以当时成立．

由①②可知当时,．　　　　　　　　　　　 　

综上所述：当时,；当时, ；

当时,．　　　　　　　　　　　 ．．．．．．．．．．．．．．．10分

方法2：

记函数

所以　　　　　　　　　　 ．．．．．．．．．6分

则

所以．

由于，此时；

，此时；

，此时；

由于，，故时，，此时．

综上所述：当时，_；当时,．　 　．．．．．．．．．．．10分

(III)

当时，

所以当时

+．

且

故对，得证．　　　　　　　　　　　　　　　 ．．．．．．．．．．．．．．．．．14分

20．(本题满分13分)

已知函数，函数的最小值为．

(1)求的解析式；

(2)是否存在实数同时满足下列两个条件：①；②当的定义域为时，值域为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

20解：(1)由，知，令

．．．．．．．．．．．．1分

记，则的对称轴为，故有：

①当时，的最小值

②当时，的最小值

③当时，的最小值

综述，　　　　　　　　　　　　　　 ．．．．．．．．．．．．7分

(2)当时，．故时，在上为减函数．

所以在上的值域为．　　　　　　　　　　 ．．．．．．．．．．．．9分

由题，则有，两式相减得，又

所以，这与矛盾．故不存在满足题中条件的的值．

．．．．．．．．．．．．13分

19．(本题满分12分)

已知二次函数，不等式的解集有且只有一个元素，设数列的前项和为．

(1)求数列的通项公式；

(2)设各项均不为的数列中，满足的正整数的个数称作数列的变号数，令，求数列的变号数．

19解：(1)由于不等式的解集有且只有一个元素，

故．　　　　　　　　　　　　　　　　　 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

由题

则时，；时，

故　　　　　　　　　　　　　　　　　 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

(2)由题可得，

由，所以都满足　　　 ．．．．．．．．．．．．．．8分

当时，，且，同时，可知

满足；时，均有．

满足的正整数，故数列的变号数．　　 ．．．．．．．．．．．．12分

18．(本题满分12分)

已知中，，为圆心，直径，求的最大值、最小值，并分别指出取得最值时与夹角的大小．

18解：在中，由余弦定理知，故．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ．．．．．．．．．．．．3分

所以

　 =　　　　　 ．．．．．．．．．．7分

故的最大值为，此时与夹角为．

的最小值为，此时与夹角为．　　 ．．．．．．．．．12分

17．(本题满分12分)

已知函数．

(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；

(2)求在上的值域．

17解：(1)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　．．．．．．．．．．．．．．3分

故函数的最小正周期

令，得

故的单调递减区间为．　　　　 ．．．．．．．．．．．．．．6分

(2)当，知，故．

所以在上的值域是．　　　　　　　　 ．．．．．．．．．．．．．．12分

16．(本题满分12分)

中，角的对边分别为，且．

(1)判断的形状；

(2)设向量，，且，，求．

16解：(1)由题，故，

由正弦定理，即．

又，故，

因，故．

即，故为直角三角形．　　　　　　　　 　　　　．．．．．．．．．．．．．．6分

(2)由于，所以　 ①

且，即　 ②

联立①②解得，故在直角中，．．．．．．．12分