(一)定义：到定点F与定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线。

即：到定点F的距离与到定直线l的距离之比是常数e(e=1)。

(三)性质

　　 方程： 　　　　

定义域：；　 值域为R；

实轴长=，虚轴长=2b

焦距：2c

准线方程：

焦半径：，，；

注意：(1)图中线段的几何特征：，

　　　　 顶点到准线的距离：；焦点到准线的距离：

两准线间的距离=

　　　 (2)若双曲线方程为渐近线方程：

　　　　 若渐近线方程为双曲线可设为

　　　　　 若双曲线与有公共渐近线，可设为

(，焦点在x轴上，，焦点在y轴上)

　　　 (3)特别地当离心率两渐近线互相垂直，分别为y=，此时双曲线为等轴双曲线，可设为；

　　　 (4)注意中结合定义与余弦定理，将有关线段、、和角结合起来。

　　　 (5)完成当焦点在y轴上时，标准方程及相应性质。

(二)图形：

(一)定义：Ⅰ若F₁，F₂是两定点，(为常数)，则动点P的轨迹是双曲线。

Ⅱ若动点P到定点F与定直线l的距离之比是常数e(e>1)，则动点P的轨迹是双曲线。

(一)椭圆

定义Ⅰ：若F₁，F₂是两定点，P为动点，且 (为常数)则P点的轨迹是椭圆。

定义Ⅱ：若F₁为定点，l为定直线，动点P到F₁的距离与到定直线l的距离之比为常数e(0<e<1)，则P点的轨迹是椭圆。

标准方程：

定义域：值域：

　　　　 长轴长=，短轴长=2b

焦距：2c

准线方程：

焦半径：，，，等(注意涉及焦半径①用点P坐标表示，②第一定义。)

注意：(1)图中线段的几何特征：，

　　　　 　，等等。顶点与准线距离、焦点与准线距离分别与有关。

　　 (2)中经常利用余弦定理、三角形面积公式将有关线段、、2c，有关角结合起来，建立+、等关系

(3)椭圆上的点有时常用到三角换元：；

(4)注意题目中椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上，请补充当焦点在y轴上时，其相应的性质。

26.　　 如图：已知正三棱柱ABC－A'B'C'的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点。 (1)求异面直线AB'与BC'的夹角； (2)在直线CC'上求一点N，使得MN⊥AB'。

(3)　　　　　 若AB的中点为P，BC’的中点Q，求证：PQ//面ABC (1)解法一：因为　 又因为ABC－A'B'C'是正三棱柱，∴ 　　<　 由题意，＝2从而得：＝＝＝4+ ＝ ∴ cos<　 ∴ <　 即异面直线AB'与BC'的夹角为arccos 解法二：以A点为坐标原点，AA'为z轴，AC为y轴，建立空间直角坐标系， 由题意：A(0，0，0)，B(，0)，B'(，2)，C'(0，1，2) 　　 cos<＝ ∴ <　　 即异面直线AB'与BC'的夹角为arccos (2)解法一：设由题意可得：

　 　　　< ∵ 　　也就是 ∴ 　∴ ∴ －+4x＝0∴ x＝　 即当时，AB'⊥MN. 解法二：同解法一建立空间直角坐标系， 有A(0，0，0)，B(，0)，M(，0)，N(0，1，z) ∵ ∴ 　 ∴ －+2z＝0 解得z＝，∴ N＝(0，1，)　 即CN＝时，AB'⊥MN.

(3)非向量法略，另向量法：方法一、基向量(待定系数法)

　 ，则，又因为，

设得得x=0,y=1/2,所以所以PQ与面ABC共面，又因为，所以PQ//面ABC

例2已知(来源课本第二册P17、EX9；P23、EX4；P31、EX3)

　　 的单调区间；(2)求证：

　　 (3)若

　　 讲解: (1) 对 已 知 函 数 进 行 降 次 分 项 变 形　 , 得 ,

　　 (2)首先证明任意事实上,

　　 而

　　　 　 　.

　　 函 数 与 不 等 式 证 明 的 综 合 题 在 高 考 中 常 考 常 新 , 是 既 考 知 识 又 考 能 力 的 好 题　 型 , 在 高 考 备 考 中 有 较 高 的 训 练 价 值.. 针对本例的求解, 你能够想到证明任意采用逆向分析法, 给出你的想法!

例4 对于函数，若存在成立，则称的不动点。如果函数有且只有两个不动点0，2，且

　 (1)求函数的解析式；

　 (2)已知各项不为零的数列，求数列通项；

　 (3)如果数列满足，求证：当时，恒有成立.

　 讲解:　 依题意有,化简为 由违达定理, 得

　 解得 代入表达式，由得 不止有两个不动点，

(2)由题设得　　 (*)

且　　　　　 (**)

由(*)与(**)两式相减得：

解得(舍去)或，由，若这与矛盾，，即{是以-1为首项，-1为公差的等差数列，；

　 (3)采用反证法，假设则由(1)知

,有，而当这与假设矛盾，故假设不成立，.

　 关于本例的第(3)题,我们还可给出直接证法,事实上:

　 由得<0或

　 结论成立；

　 若，此时从而即数列{}在时单调递减，由，可知上成立.

　　 比较上述两种证法,你能找出其中的异同吗? 数学解题后需要进行必要的反思, 学会反思才能长进.

解析几何中的基本公式

1、　 两点间距离：若，则

　　　　　　　 特别地：轴，　　 则　　　　　　　　　　 。

　　　　　　　　　　　 轴，　　 则　　　　　　　　　　 。

2、　 平行线间距离：若

　　　　　　　　 则：

　　　　　　　　 注意点：x，y对应项系数应相等。

3、　 点到直线的距离：

则P到l的距离为：

4、　 直线与圆锥曲线相交的弦长公式：　

消y：，务必注意

若l与曲线交于A

　　　　　　　　 则：

5、　 若A，P(x，y)。P在直线AB上，且P分有向线段AB所成的比为，

则　 ，特别地：=1时，P为AB中点且

变形后：

6、　 若直线l₁的斜率为k₁，直线l₂的斜率为k₂，则l₁到l₂的角为

适用范围：k₁，k₂都存在且k₁k₂－1 ，　　

若l₁与l₂的夹角为，则，

注意：(1)l₁到l₂的角，指从l₁按逆时针方向旋转到l₂所成的角，范围

　　　　　 l₁到l₂的夹角：指　 l₁、l₂相交所成的锐角或直角。

　　 (2)l₁l₂时，夹角、到角=。

　　 　(3)当l₁与l₂中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。

7、　 (1)倾斜角，；

(2)；

(3)直线l与平面；

(4)l₁与l₂的夹角为，，其中l₁//l₂时夹角=0；

(5)二面角；

(6)l₁到l₂的角

8、　 直线的倾斜角与斜率k的关系

a)　　　　 每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率。

b)　　　　 若直线存在斜率k，而倾斜角为，则k=tan。

9、　 直线l₁与直线l₂的的平行与垂直

(1)若l₁，l₂均存在斜率且不重合：①l₁//l₂ k₁=k₂

②l₁l₂ k₁k₂=－1

　　 (2)若

　　　　　 若A₁、A₂、B₁、B₂都不为零

①　　 l₁//l₂；

②　　 l₁l₂ A₁A₂+B₁B₂=0；

③　　 l₁与l₂相交

④　　 l₁与l₂重合；

注意：若A₂或B₂中含有字母，应注意讨论字母=0与0的情况。

10、　　　　　　　 直线方程的五种形式

名称　　　 　　　　方程　　　　　　　　　　　　 注意点

斜截式：　　　　　 y=kx+b　　　　　　　　　　 应分①斜率不存在

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②斜率存在

点斜式：　　　　　 　　　　　(1)斜率不存在：

　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　(2)斜率存在时为

两点式：　　　　　

截距式：　　　　　 　　　　　　　　　　其中l交x轴于，交y轴于当直线l在坐标轴上，截距相等时应分：

　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　(1)截距=0　 设y=kx

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2)截距=　 设

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 即x+y=

一般式：　　　　 　　　　　　　(其中A、B不同时为零)

10、确定圆需三个独立的条件

圆的方程　　 (1)标准方程： ， 。

　　　　　　 (2)一般方程：，(

11、直线与圆的位置关系有三种

若，

12、两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为O₁，O₂，半径分别为r₁，r₂，

外离　　　　　　　　　　　　　　　　 外切

　　　　　　　 相交　　　　　　　　　　　 内切　　　　　　　　　　 内含

13、圆锥曲线定义、标准方程及性质

25.　　 在北纬60º圈上有甲、乙两地，它们在纬度线上的弧长等于R，R为地球半径，则这两地的球面距离为(　　 ) A.πR　　　　　　　　　　 B.πR　　　　　　　　　　　　　 C.πR　　　　　　　　　　　 D.πR B

填空题：

设m、n是不重合的两条直线，是不重合的平面，给出下列命题：请判断其是否正确，如错误，请举出反例。

若，则

若，则

若，则

若，则

若，则

若内有不共线的三点到的距离相等，则

若，则

若a、b是异面直线，，则

24.　　 球面上有三个点A、B、C，其中AB＝18,BC＝24,AC＝30，且球心到平面ABC的距离为球半径的一半，那么这个球的半径为(　　 ) A.10　　　　　　　　　　 B.10　　　　　　　　　　　　　　 C.20　　　　　　　　　　　　　　 D.30 A

23.　　 球面上有三个点，其中任意两个点的球面距离都等于大圆周长的，经过这三个点的小圆周长为4π，那么这个球的半径为(　　 ) A.4　　　　　　　　　　　 B.2　　　　　　　　　　　　　 C.2　　　　　　　　　　　　　　　 D. B

22.　　 地球半径为R，在北纬30º的圆上有两点A、B，A点的经度为东经120º，B点的经度为西经60º，则A、B两点的球面距离为(　　 ) A.πR　　　　　　　　　　　 B.πR　　　　　　　　　　　 C.πR　　　　　　　　　　　　　 D.πR D