（2013•南通三模）设f（x）是定义在（0，+∞）的可导函数，且不恒为0，记gn(x)=

f(x)

xn

(n∈N*)．若对定义域内的每一个x，总有g_n（x）＜0，则称f（x）为“n阶负函数”；若对定义域内的每一个x，总有[gn(x)]′≥0，则称f（x）为“n阶不减函数”（[gn(x)]′为函数g_n（x）的导函数）．
（1）若f(x)=

a

x3

-

1

x

-x(x＞0)既是“1阶负函数”，又是“1阶不减函数”，求实数a的取值范围；
（2）对任给的“2阶不减函数”f（x），如果存在常数c，使得f（x）＜c恒成立，试判断f（x）是否为“2阶负函数”？并说明理由．

（2012•淄博一模）在平面直角坐标系内已知两点A（-1，0）、B（1，0），若将动点P（x，y）的横坐标保持不变，纵坐标扩大到原来的

2

倍后得到点Q(x，

2

y)，且满足

AQ

•

BQ

=1．
（I）求动点P所在曲线C的方程；
（II）过点B作斜率为-

2

2

的直线l交曲线C于M、N两点，且

OM

+

ON

+

OH

=

0

，又点H关于原点O的对称点为点G，试问M、G、N、H四点是否共圆？若共圆，求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由．

（2012•黄浦区一模）已知两点A（-1，0）、B（1，0），点P（x，y）是直角坐标平面上的动点，若将点P的横坐标保持不变、纵坐标扩大到

2

倍后得到点Q（x，

2

y）满足

AQ

•

BQ

=1．
（1）求动点P所在曲线C的轨迹方程；
（2）过点B作斜率为-

2

2

的直线l交曲线C于M、N两点，且满足

OM

+

ON

+

OH

=

0

，又点H关于原点O的对称点为点G，试问四点M、G、N、H是否共圆，若共圆，求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由．

（2011•武进区模拟）函数f(x)=

1

2

ax2-bx-lnx，a＞0，f'（1）=0．
（1）①试用含有a的式子表示b；②求f（x）的单调区间；
（2）对于函数图象上的不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），如果在函数图象上存在点P（x₀，y₀）（其中x₀在x₁与x₂之间），使得点P处的切线l∥AB，则称AB存在“伴随切线”，当x0=

x1+x2

2

时，又称AB存在“中值伴随切线”．试问：在函数f（x）的图象上是否存在两点A、B，使得AB存在“中值伴随切线”？若存在，求出A、B的坐标；若不存在，说明理由．

（2008•湖北模拟）已知数列{a_n}的前n项和为{S_n}，又有数列{b_n}满足关系b₁=a₁，对n∈N^*，有a_n+S_n=n，b_n+1=a_n+1-a_n
（1）求证：{b_n}是等比数列，并写出它的通项公式；
（2）是否存在常数c，使得数列{S_n+cn+1}为等比数列？若存在，求出c的值；若不存在，说明理由．