题目内容

（2012•淄博一模）在平面直角坐标系内已知两点A（-1，0）、B（1，0），若将动点P（x，y）的横坐标保持不变，纵坐标扩大到原来的
2
倍后得到点Q(x，
2
y)，且满足
AQ
•
BQ
=1．
（I）求动点P所在曲线C的方程；
（II）过点B作斜率为-
2
2
的直线l交曲线C于M、N两点，且
OM
+
ON
+
OH
=
0
，又点H关于原点O的对称点为点G，试问M、G、N、H四点是否共圆？若共圆，求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由．
分析：（I）确定向量AQ，BQ的坐标，利用
AQ
•
BQ
=1，即可得到动点P所在曲线C的轨迹方程．
（II）假设l的方程与椭圆方程联立，利用向量知识，确定M，N，G，H的坐标，进而确定点到四点的距离相等，从而可得结论．
解答：解：：（I）依据题意，有
AQ
=（x+1，
2
y），
BQ
=（x-1，
2
y），
∵
AQ
•
BQ
=1，∴x2-1+2y2=1，
∴动点P所在曲线C的轨迹方程是
x2
2
+y2=1．
（II）因直线l过点B，且斜率为k=-
2
2
，故有l：y=-
2
2
（x-1）．
联立方程组
x2
2
+y 2=1
y=-
2
2
(x-1)
，得2x2-2x-1=0．
设两曲线的交点为M（x1，y1）、N（x2，y2），∴x1+x2=1，y1+y2=
2
2
．
又
OM
+
ON
+
OH
=
0
，点G与点H关于原点对称，于是，可得点H（-1，-
2
2
）、G（1，
2
2
）．
若线段MN、GH的中垂线分别为l1和l2，则有l1：y-
2
4
=
2
（x-
1
2
），l2：y=-
2
x．
联立方程组，解得l1和l2的交点为O1（
1
8
，-
2
8
）．
因此，可算得|O1H|=
(
9
8
)2+(
3
2
8
 )2
=
3
11
8
，|O1M|=
(x 1-
1
8
)2+(y 1+
2
8
 )2
=
3
11
8
．
所以，四点M、G、N、H共圆，圆心坐标为O1（
1
8
，-
2
8
），半径为
3
11
8
．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查四点共圆，正确运用向量知识，确定圆心坐标与半径是关键，属于难题．
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