Question

（2011•武进区模拟）函数f(x)=

1

2

ax2-bx-lnx，a＞0，f'（1）=0．
（1）①试用含有a的式子表示b；②求f（x）的单调区间；
（2）对于函数图象上的不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），如果在函数图象上存在点P（x₀，y₀）（其中x₀在x₁与x₂之间），使得点P处的切线l∥AB，则称AB存在“伴随切线”，当x0=

x1+x2

2

时，又称AB存在“中值伴随切线”．试问：在函数f（x）的图象上是否存在两点A、B，使得AB存在“中值伴随切线”？若存在，求出A、B的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）①先求导函数，再利用f'（1）=0，可用含有a的式子表示b；②求导函数，再利用导数大于0的函数的单调增区间，导数小于0得函数的单调减区间；
（2）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），再利用中值伴侣切线的意义结合导数工具，求出g（t）在（1，+∞）上单调递增，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

解答：解：（1）①f′(x)=ax-b-

1

x

∵f'（1）=0，∴b=a-1．（2分）
②f′(x)=

(ax+1)(x-1)

x

∵x＞0，a＞0
∴当x＞1时f'（x）＞0，当0＜x＜1时，f'（x）＜0
∴f（x）增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）（6分）
（2）不存在   （7分）  （反证法）
若存在两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），不妨设0＜x₁＜x₂，
则曲线y=f（x）在x0=

x1+x2

2

的切线斜率k=f′(x0)=a•

x1+x2

2

-b-

2

x1+x2

又kAB=

y2-y1

x2-x1

=a•

x1+x2

2

-b-

lnx2-lnx1

x2-x1

∴由k=k_AB得lnx2-lnx1-

2(x2-x1)

x2+x1

=0①（11分）
令t=

x2

x1

＞1，则①化为lnt+

4

t+1

=2②
令g(t)=lnt+

4

t+1

（t＞1）
∵g′(t)=

1

t

-

4

(t+1)2

=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0
∴g（t）在（1，+∞）为增函数   （15分）
又t＞1∴g（t）＞g（1）=2此与②矛盾，
∴不存在         （16分）

点评：本题以函数为载体，考查导数的运用，考查函数的单调性，考查存在性问题，关键是对新定义的理解．