（2009•淮安模拟）如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都为2，D为CC₁中点，试用空间向量知识解下列问题：
（1）求证：AB₁⊥平面A₁BD；
（2）求二面角A-A₁D-B的余弦值大小．

某医院将一专家门诊已诊的1000例病人的病情及诊断所用时间（单位：分钟）进行了统计，如下表．若视频率为概率，请用有关知识解决下列问题．

病症及代号	普通病症A1	复诊病症A2	常见病症A3	疑难病症A4	特殊病症A5
人数	100	300	200	300	100
每人就诊时间 （单位：分钟）	3	4	5	6	7

（1）用ξ表示某病人诊断所需时间，求ξ的数学期望．并以此估计专家一上午（按3小时计算）可诊断多少人；
（2）某病人按序号排在第三号就诊，设他等待的时间为ξ，求P（ξ≤8）；
（3）求专家诊断完三个病人恰好用了一刻钟的概率．

解关 于x的 不 等 式：

x+2

k

＞1+

x-3

k2

(k≠0)，并回答下列 问 题：
（1）若 解 集 为 {x|x＞3}，求k的值．
（2）若x=3在 解 集 中，求k的 取 值 范 围．