题目内容
（2009•淮安模拟）如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点，试用空间向量知识解下列问题：（1）求证：AB1⊥平面A1BD；
（2）求二面角A-A1D-B的余弦值大小．
分析：取BC中点O，连AO，利用正三角形三线合一，及面面垂直的性质可得AO⊥平面BCB1C1，取B1C1中点为O1，以O为原点，
，
，
的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
（1）求出AB1的方向向量
，
，
利用向量垂直的充要条件及线面垂直的判定定理可得AB1⊥平面A1BD；
（2）分别求出平面A1AD的法向量和平面A1AD的一个法向量代入向量夹角公式，可得二面角A-A1D-B的余弦值大小．
| OB |
| OO1 |
| OA |
（1）求出AB1的方向向量
| AB1 |
| BD |
| BA1 |
（2）分别求出平面A1AD的法向量和平面A1AD的一个法向量代入向量夹角公式，可得二面角A-A1D-B的余弦值大小．
解答：
证明：（1）取BC中点O，连AO，
∵△ABC为正三角形，
∴AO⊥BC
又∵平面ABC⊥平面BCB1C1，平面ABC∩平面BCB1C1=BC，AO?平面ABC
∴AO⊥平面BCB1C1，…（2分）
取B1C1中点为O1，
以O为原点，
，
，
的方向为x，y，z轴的正方向，
建立空间直角坐标系，
则B（1，0，0），D(-1，1，0)，A1(0，2，
)，A(0，0，
)，B1(1，2，0)…（4分）
∴
=(1，2，-
)，
=(-2，1，0)，
=(-1，2，
)，
∵
•
=-2+2+0=0，
•
=-1+4-3=0，
∴
⊥
，
⊥
，
∴AB1⊥平面A1BD．…（6分）
（2）设平面A1AD的法向量为
=(x，y，z)，
由
=(-1，1，-
)，
=(0，2，0)．
⊥
，
⊥
，
∴
，
∴
，
解得
，
令z=1，得
=(-
，0，1)为平面A1AD的一个法向量，…（8分）
由（1）知AB1⊥平面A1BD，
∴
为平面A1AD的法向量，
cos＜
，
＞=
=
=-
，
∴二面角A-A1D-B的余弦值大小为cosθ=
．…（10分）
证明：（1）取BC中点O，连AO，∵△ABC为正三角形，
∴AO⊥BC
又∵平面ABC⊥平面BCB1C1，平面ABC∩平面BCB1C1=BC，AO?平面ABC
∴AO⊥平面BCB1C1，…（2分）
取B1C1中点为O1，
以O为原点，
| OB |
| OO1 |
| OA |
建立空间直角坐标系，
则B（1，0，0），D(-1，1，0)，A1(0，2，
| 3 |
| 3 |
∴
| AB1 |
| 3 |
| BD |
| BA1 |
| 3 |
∵
| AB1 |
| BD |
| AB1 |
| BA1 |
∴
| AB1 |
| BD |
| AB1 |
| BA1 |
∴AB1⊥平面A1BD．…（6分）
（2）设平面A1AD的法向量为
| n |
由
| AD |
| 3 |
| AA1 |
| n |
| AD |
| n |
| AA1 |
∴
|
∴
|
解得
|
令z=1，得
| n |
| 3 |
由（1）知AB1⊥平面A1BD，
∴
| AB1 |
cos＜
| n |
| AB1 |
| ||||
|
|
-
| ||||
2×2
|
| ||
| 4 |
∴二面角A-A1D-B的余弦值大小为cosθ=
| ||
| 4 |
点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面垂直的判定，建立空间坐标系，将空间线线垂直转化为向量垂直，将空间二面角转化为向量夹角是解答的关键．
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